§ 4. Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из событий (гипотез) В₁, В₂,……, В_n, образующих полную систему. Пусть известны вероятности этих событий р(В₁ ), р(В₂ ),……, р(Вn), и условные вероятности события А:

Тогда вероятность события А (полная вероятность) вычисляется по формуле:

Эта формула называется формулой полной вероятности.

§5. Формула Бернулли

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна р, причем 0 < p < 1. Следовательно, вероятность не наступления события А в каждом испытании тоже постоянна и равна q = 1 - р. Тогда вероятность Р_n(k) того, что в серии из n независимых испытаний событие А появится ровно k раз (и, следовательно, не появится n - k раз), вычисляется по формуле:

Эта формула называется формулой Бернулли.

Частные случаи формулы Бернулли

1. Вероятность Р_n(n) появления события А n раз в n независимых испытаниях равна:

Р_n(n) = pⁿ.

2. Вероятность Р_n(0) непоявления события А ни разу в n независимых испытаниях равна:

P_n(0) = qⁿ.

3. Вероятность появления события А не менее k раз в n независимых испытаниях равна:

P_k = P_n(k) +P_n(k+1) +……..+P_n(n) или P_k =

§ 6. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях

Определение. Число k₀ наступлений события А в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность того, что событие А наступит в этих испытаниях k₀ раз, превышает ( или по крайней мере, не меньше) вероятностей остальных исходов испытаний.

Для определения наивероятнейшего числа появлений события А в n независимых испытаниях используется формула

np - q < k₀ < np+p,

где р- вероятность появления события А в каждом из n испытаний, q =1 – р.

§ 7. Теорема Лапласа. Локальная теорема Лапласа

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна p, где

0 < p < 1.

Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и равна q = 1-p.

Тогда вероятность Рn(k) того, что в серии из n независимых испытаний событие А появится ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли:

P_n(k) = C_n^{k .}p^{k .} q ^n-k.

Однако использование этой формулы часто бывает связано с большими затруднениями. Упростить вычисления позволяет локальная теорема Лапласа

, где

или , где

Функция четная и её значения находятся по специальным таблицам.

Интегральная теорема Лапласа.

Некоторым обобщением локальной теоремы Лапласа является интегральная теорема Лапласа.

Пусть производится n независимых испытаний. Если вероятность появления события А в каждом единичном испытании постоянна и равна р(0 < p < 1), то вероятность Рn ( k₁, k₂ ) того, что событие А появится в этой серии испытаний от k₁, до k₂ раз приближённо равна значению определённого интеграла

Р_n(к₁,к₂) ≈ где х'= , x''=

Преобразовав интеграл, получим

или

, где

Функция нечетная и для нее составлены специальные таблицы.