Математическое ожидание дискретной случайной величины

Задание случайной величины при помощи закона распределения вероятностей является громоздким и неудобным. Естественно, возникает мысль о том, нельзя ли характеризовать случайную величину какими-либо числами, которые суммарно описывали бы закон распределения вероятностей и давали бы информацию о случайной величине более сжато или, как говорят математики, в более свёрнутом виде. Оказывается, можно. Такие числа называются числовыми характеристиками случайных величин.

Основными числовыми характеристиками случайных величин являются математическое ожидание и дисперсия.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений этой величины на соответствующие им вероятности.

М(Х) = х₁ р₁ + х₂ р₂ +…..+ х_п р_п =

где х₁, х₂, ….., х_n - все возможные значения случайной величины Х;

p₁ , р₂ ,…,р_п - соответствующие им вероятности.

Вероятный смысл математического ожидания

Пусть произведено n независимых испытаний, в которых случайная величина Х приняла:

m₁ раз значение х₁,

m₂ раза значение х₂,

…………………………..

m_к раз значение х_к,

где m₁ + m₂+…….+m_к = n.

При большом количестве испытаний математическое ожидание случайной величины Х приближённо равно среднему арифметическому наблюдаемых значений этой случайной величины (тем точнее, чем больше число испытаний).

где n = m₁ + m₂ + ……..+m_к.

Свойства математического ожидания

1. Mатематическое ожидание постоянной величины равно самой этой величине

М(С) =С.

Действительно, М(С) =С ^. Р = С ^. I = С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

М (СХ) = С ^. М (Х).

3. М (Х + У) = М (Х) + М (У) , т.е. математическое ожидание суммы двух ( или нескольких) случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин.

Следствие 1. Если С – постоянная величина, то

М (Х + С) = М (Х) +С.

Следствие 2. Математическое ожидание разности любых двух случайных величин равно разности математических ожиданий этих величин, т.е. М (Х –У) = М (Х) – М (У).

Определение 1. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Определение 2. Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если закон распределения любого числа их них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

4. Если Х и У - независимые, то

М (Х ^. У) = М (Х) ^. М (У).

Если X,У,Z - взаимно независимые, то

М (X ^. У ^. Z ) = М(Х) ^. М(У) ^. М( Z)

Задача. Найти математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании, если р – вероятность появления события А в одном испытании.

Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях.

Пусть производится n независимых испытаний, р – вероятность появления события А в каждом испытании. Тогда среднее число появлений события А в n испытаниях вычисляется по формуле:

М(Х) = nр.

Эта же формула применяется и при нахождении М (Х) при биномиальном распределении.

Дисперсия дискретной случайной величины

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания

D(Х) = М [ Х – М(Х)] ²

Дисперсия характеризует степень рассеяния возможных значений случайной величины вокруг её математического ожидания. На практике для вычисления дисперсии используется следующая формула:

D(Х) = М(Х ²) - [ М(Х)] ²