Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной равна нулю.

D(С) =0,

где С = const.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат.

D(СХ) = С ^{2 .} D(Х).

3. Если Х и У – независимые случайные величины, то

D(Х+У) =D(Х)+D(У).

D (Х+С) = D(Х),

где С = const.

1. Если X,У,Z – взаимно независимые случайные величины, то

D(Х+У+Z) = D(Х) +D(У) + D(Z).

Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях.

Рассмотрим сначала случайную величину: “число появлений события А в одном испытании”

	0	1
Х	1-р	р
Х2	1–р	р

М(Х) = 0 ^. (1 – р) + 1 ^.р = р

М(Х ²) = р

D(Х)=М(Х ²) – М ²(Х) = р – р² = р(1 – р) = рq

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. Тогда дисперсия числа появлений события А в этих п испытаниях вычисляется по формуле:

D(Х) = npq

Замечание: Эта те формула применяется для нахождения дисперсии дискретной величины, распределённой по биномиальному закону.

§ 4.Среднее квадратическое отклонение

Определение: Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из ее дисперсии.

б (Х) = .

§ 5. Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины

Пусть х – любое действительное число.

Определение. Интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины Х называется функция, которая для каждого значения х определяет вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х, т.е.

F(x) = P(X < x).

Г

Х

………………..….

еометрически это означает, что для каждого значения х функция F(x) определяет вероятность того, что случайная величина Х примет значение, лежащее на числовой оси левее х.

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если её интегральная функция непрерывная, кусочно дифференцируемая с непрерывной производной.

Свойства интегральной функции

Свойство 1. Функция F(х) –ограниченная, а именно:

0 ≤ F(x) ≤ 1. Это вытекает из определения F(х) как вероятности.

Свойство 2. Функция F(х) – неубывающая.

Следствие 1. F(х₁≤ х< х₂ ) = F (х₂) – F(х₁)

или F(а ≤ х< в ) = F (в) – F(а),

т.е. вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащие [ а, в), равно приращению её интегральной функции на этом полуинтервале.

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна 0.

Отсюда вытекает следующее:

Если случайная величина Х – непрерывная, то

Р(а≤х<в)=Р(а< Х≤ в ) = Р (а< Х< в )=Р(а ≤ Х≤ в ).

Свойство 3. Если все значения случайной величины принадлежат интервалу (а , в), то F(х) = 0, если х ≤ а,

F(х) = 1, если х ≥ в .

Свойство 4. Если все значения непрерывной случайной величины Х принадлежат интервалу ]- ∞;+ ∞[, то на минус бесконечности интегральная функция равна 0, а на плюс бесконечности - равна единице.