График интегральной функции распределения для дискретной случайной величины

График интегральной функции для дискретной случайной величины прерывный, ступенчатый.

§ 6. Дифференциальная функция распределения

вероятностей (функция плотности)

Определение. Дифференциальной функцией ѓ(х) распределения случайной величины Х называется первая производная от её интегральной функции:

ѓ(х) = F' (x).

Замечание 1. Из определения ѓ(х) видно, что F(x) – первообразная для ѓ(х)

Замечание 2. Так как функция F(x) для дискретной случайной величины разрывна, то для описания распределения дискретной случайной величины дифференциальная функция не применима.

Таким образом, в отличие от интегральной функции распределения форма распределения вероятностей с помощью дифференциальной функции не является универсальной; она существует только для непрерывных случайных величин.

График дифференциальной функции ѓ(х) называется кривой распределения.

Вероятность попадания непрерывной случайной

Величины в заданный интервал.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, в) , равна определённому интервалу от дифференциальной функции, взятому в пределах от а до в

.

Геометрически это можно истолковать так: Р(а < Х < в) численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

х=а, х=в, у=0, у= ƒ(х).

Замечание: если ѓ(х) чётная, концы интервала симметричны относительно начала координат, то

Зная дифференциальную функцию, можно найти интегральную функцию распределения вероятностей по формуле:

.

Свойства дифференциальной функции

Свойство1. Дифференциальная функция неотрицательна ѓ(х)≥ 0, т.к. ѓ(х) есть производная от неубывающей функции. Геометрически это означает, что график функции ѓ(х) лежит не ниже оси абсцисс.

Свойство 2.. Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от -∞ до +∞ равен 1

.

Геометрически это означает, что площадь бесконечной полосы, ограниченной осью Ох и кривой ѓ(х), равна 1.

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат (а, в) , то

.

Вероятный смысл дифференциальной функции

Пусть Х – непрерывная случайная величина, F(x) её интегральная функция распределения.

По определению

F(x+Дx)-F(x)=P(x<X<x +Дx)

- средняя плотность вероятности на (x, x+Дx)

- плотность вероятности в точке х.

Итак, дифференциальная функция f(x) определяет плотность

распределения вероятности для каждой точки.

Известно, что F(x+Дx)-F(x)≈dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx .

Итак, F(x+Дx)-F(x)≈f(x)dx=f(x)Дx .

Вероятностный смысл последнего равенства такой: вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее (x, x + Дx), приближённо равна ( с точностью до бесконечно малой высшего порядка относительно Δx ) произведению плотности вероятности в точке х на длину интервала Δx.