8 Формулы Байеса

8.1 Справочный материал

 

 

Пусть  – попарно - несовместные события, вероятности которых    (i= 1,2, ... , n), и событие , для которого известны условные вероятностиР(А/ ) (i = 1,2, ... , n). Произведен опыт, в результате которого появилось событие А. Условные вероятности событий относительно события А определяются формулами:

,  (k =1,2,..., n),                 (8.1)

или

                                          (8.2)

где

 - формула полной вероятности.

Формулы (8.1), (8.2) называют формулами Байеса.

Замечание. Вероятности  (k=1, 2, ... , n) событий до опыта называются априорными вероятностями (т.е. вероятностями  событий  до того, как был произведен опыт). Вероятности  (k = 1, 2, ... , n) тех же собьrrий называются апостериорными (т.е. вероятностями  событий после опыта).

8.2 Задачи

 

Задача 1 . В ящике находятся одинаковые изделия, изготовленные

на двух автоматах : 40% изделий изготовлено первым автоматом, остальные - вторым . Брак в продукции первого автомата составляет 3%,

второго - 2%. Найти вероятность того, что случайно выбранное изделие

изготовлено первым автоматом, если оно оказалось бракованным.

Решение. Введем обозначения: событие  А – случайно выбранное изделие является бракованным, событие  - изделие изготовлено первым автоматом, событие  - изделие изготовлено вторым автоматом.

Из условия следует, что

Р(А/ )=0,03;    Р(А/ )=0,02.   

Искомую вероятность найдем по формуле (8.2), предварительно

определив Р(А) согласно формуле (7.1), которая в данном случае

принимает вид:

Подставляя соответствующие значения, получаем

Р(А) = 0,4 ·0,03+0,6·0,02 = 0,024.

В соответствии с формулой (8.2) находим

Задача 2. На складе находятся детали, изготовленные на двух заводах. Известно, что объем продукции первого завода в 4 раза превышает объем продукции второго завода. Вероятность брака на первом заводе  на втором заводе - . Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена первым заводом?

Решение. Введем обозначения: событие  А – наудачу взятая деталь оказалась бракованной, событие  – взятая деталь изготовлена на первом заводе, событие  - взятая деталь изготовлена на втором заводе.

Учитывая, что по условию, объем продукции первого завода в 4 раза превышает объем продукции второго завода, можно записать:

Также, по  условию, задано:

Р(А/ )=0,05;    Р(А/ )=0,01.

Воспользовавшись формулой (8.1), получаем:

Задача 3. На склад поступает продукция трех фабрик, причем

продукция первой фабрики составляет 20%, второй - 46% и третьей -

34%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой

фабрики равен 3%, для второй - 2%, для третьей - 1 %. Найти вероятность того, что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике.

Решение. Введем обозначения: событие  А – наудачу взятое изделие оказалось бракованным, событие  – взятое изделие изготовлено на первой фабрике, событие  - взятое изделие изготовлено на второй фабрике, событие  - взятое изделие изготовлено на третьей фабрике.

Из условия задачи следует, что

Р(А/ )=0,03;    Р(А/ )=0,02,  Р(А/ )=0,01.

Поскольку в данном случае

то в соответствии с формулой (8.2) находим искомую вероятность:

Задача 4. Изделие выпускается двумя заводами. При этом объем продукции второго завода в3 раза превосходит объем продукции первого. Доля брака у первого завода составляет 2%, у второго - 1 %. Изделия, выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени,

перемешали и направили в продажу. Какова вероятность того, что приобретено изделие со второго завода, если оно оказалось бракованным?

Решение. Введем обозначения: событие  А – приобретенное изделие оказалось бракованным, событие  – изделие изготовлено на первом заводе, событие  - изделие изготовлено на втором заводе.

Поскольку объем продукции второго завода в 3 раза больше объема продукции второго, то

Также, по  условию, задано:

Р(А/ )=0,02;    Р(А/ )=0,01.

Воспользовавшись формулой (8.1), получаем:

Задача 5. В пяти ящиках находятся одинаковые по весу и размерам шары. Два ящика содержат  по 6 голубых и по 4 красных шара, в двух других ящиках содержится по 8 голубых и по 2 красных шара,  в одном ящике - 2 голубых и 8 красных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Извлеченный шар оказался голубым. Какова вероятность того, что голубой шар извлечен из ящика, где лежало  6 голубых и  4 красных шара?

Решение. Введем обозначения: событие А – из ящика извлечен голубой шар, событие  –шар извлечен из ящика первого состава (6 голубых и  4 красных шара), событие  - шар извлечен из ящика второго состава (8 голубых и  2 красных шара), событие  - шар извлечен из ящика третьего состава (2 голубых и  8 красных шаров).

Из условия задачи следует, что вероятность выбрать ящик первого состава равна:

вероятность выбрать ящик второго состава равна:

вероятность выбрать ящик третьего состава равна:

где - число ящиков первого, второго и третьего составов соответственно,  общее число ящиков.

Вероятность вынуть голубой шар, если известно, что взят ящик состава   равна:

вероятность вынуть голубой шар, если известно, что взят ящик состава   равна:

вероятность вынуть голубой шар, если известно, что взят ящик состава   равна:

В соответствии с формулой полной вероятности находим

Р( А) = 0,4 . 0,6 + 0,4 . 0,8 + 0,2 . 0,2 = 0,6.

По формуле (8.2) найдем искомую вероятность: