7 Формула полной вероятности

7.1 Справочный материал

 

Рассмотрим n попарно несовместных событий  для

которых известны вероятности     и событие

, причем известны условные вероятности

  Вероятность события А определяется формулой:

                                 (7.1)

Эта формула называется формулой полной вероятности. События  иногда называют гипотезами.

7.2 Задачи

 

Задача 1. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 30%, вторая - 25%, третья - 45% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 2%, 1 %, 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный болт оказался дефектным.

Решение. Введем обозначения: обозначим событие А - случайно

выбранный болт является дефектный, события   - этот болт произведен соответственно первой, второй и третьей машинами.

Из условия задачи следует, что

По формуле (7.1), при n = 3, получаем:

Задача 2. В пяти ящиках находятся одинаковые по размерам и

весу шары. В двух ящиках - по 6 голубых и 4 красных шара, в двух других ящиках - по 8 голубых и2 красных шара, в одном ящике  - 2 голубых и 8 красных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар оказался красным?

 

Решение. Введем обозначения: событие А - извлечен красный шар, событие - в ящике 6 голубых и 4 красных шара, событие  - в ящике 8 голубых и 2 красных шара, событие  - в ящике 2 голубых и 8 красных шаров.

Из условия задачи следует, что:

Вероятность вынуть красный шар, если известно, что взят ящик

первого состава , равна:

Вероятность извлечь красный шар, если известно, что взят ящик

второго состава (, равна:

Вероятность извлечь красный шар, если известно, что взят ящик

третьего состава(, равна:

В соответствии с формулой (7.1) при n = 3 находим искомую вероятность:

Задача 3. Партия электрических лампочек на 20% изготовлена

первым заводом, на 30% - вторым, на 50% - третьим. Вероятности выпуска заводами бракованных лампочек соответственно равны:

= 0,01; = 0,005;  = 0,006. Найти вероятность того, что наудачу взятая из партии лампочка окажется стандартной,

Решение. Обозначим события: событие  А - из партии взята стандартная лампочка, событие  - взятая лампочка изготовлена первым заводом, событие  - взятая лампочка изготовлена вторым заводом, событие  - взятая лампочка изготовлена третьим заводом. Найдем условные вероятности   по формуле:

где   - событие, противоположное событию А (т.е. взятая из партии лампочка - нестандартная).

Из условия задачи следует, что

В соответствии с формулой (7.1) получаем:

.

Задача 4. В группе учится 21 студент, в том числе 5 отличников, 10 хорошо успевающих и 6занимающихся слабо. На предстоящем экзамене  отличники могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки.  Для сдачи экзамена приглашается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

Решение. Введем обозначения: событие А - приглашенный наугад студент получает хорошую или отличную оценку,  гипотеза  - приглашен студент-отличник, гипотеза  - приглашен хороший студент, гипотеза  - приглашен слабый студент.

Из условия задачи следует, что

По формуле (7.1) находим искомую вероятность:

Задача 5. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно,

что первый автомат дает 0,1% брака, второй - 0,2% брака, третий - 0,3% брака. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000 деталей, со второго - 2000 деталей и с третьего - 3000 деталей.

Решение. Ведем обозначения: событие А – на сборку поступила бракованная деталь, гипотеза  - деталь изготовлена на первом автомате,  гипотеза  - деталь изготовлена на втором автомате, гипотеза  - деталь изготовлена на третьем автомате.

Из условия задачи следует, что:

В соответствии с формулой (7.1) находим искомую вероятность

.

Задача 6. Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго - 0,03, для третьего - 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего в два раза меньше, чем второго. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной?

Решение. Введем обозначения: событие А – взятая наудачу деталь является бракованной; гипотеза  - деталь изготовлена на первом станке,  гипотеза  - деталь изготовлена на втором станке,  гипотеза  - деталь изготовлена на третьем станке.

Пусть х - производительность второго станка, тогда 3х – производительность первого станка, - производительность третьего станка.

В соответствии с условием задачи имеем:

вероятность того, что деталь изготовлена на первом станке

вероятность того, что деталь изготовлена на втором станке

вероятность того, что деталь изготовлена на третьем станке

По формуле (7.1) находим искомую вероятность:

Задача 7. На двух автоматических станках изготовляются одинаковые детали. Известно, что производительность первого станка в два раза больше, чем второго, и что вероятность изготовления детали высшего качества на первом станке равна 0,9, а на втором - 0,81. Изготовленные за смену на обоих станках нерассортированные детали находятся на складе. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется высшего качества.

Решение. Введем обозначения: событие  А - наудачу взятая деталь окажется высшего качества, гипотеза  - деталь изготовлена на первом станке, гипотеза  - деталь изготовлена на втором станке.

Поскольку производительность первого станка в два раза больше, чем производительность второго станка, то вероятность того, что деталь изготовлена на первом станке, равна:

вероятность того, что деталь изготовлена на втором станке, равна:

Из условия задачи следует, что

В соответствии с формулой (7.1), которая при  n = 2 принимает вид:

Задача 8. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий

с вероятностями: = 0,2;  = 0,3;   = 0,5.  Вероятность того, что лампа проработает заданное число часов, для этих партий соответственно равна: 0,9;  0,8;  0,7. Определить вероятность того, что радиолампа проработает заданное число часов.

Решение. Введем обозначения: событие А - лампа проработает заданное число часов; гипотеза – лампа принадлежит к первой партии, гипотеза  – лампа принадлежит ко второй партии, гипотеза  – лампа принадлежит к третьей партии.

По условию задачи имеем:

Формула полной вероятности (7.1) при n = 3 принимает вид

Задача 9. На предприятии изготовляются изделия определенного

вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 30% изделий от общего объема их производства, на второй - 25%, на третьей - остальная часть продукции. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами годности изделий: 97%, 98%, 96%.Определить вероятность того, что наугад взятое изделие, выпущенное предприятием, окажется бракованным.

Решение. Введем обозначения: А - событие, состоящее в ·том, что

наугад взятое изделие оказалось бракованным; гипотеза - изделие произведено на первой линии, гипотеза - изделие произведено на второй линии, гипотеза - изделие произведено на третьей линии.

Прежде всего, отметим, что на третьей линии производится 45% изделий от общего объема их производства. В соответствии с условием

задачи имеем:

Используя формулу полной вероятности (7.1) в случае n = 3, находим искомую вероятность:

Полученный ответ означает, что вероятность того, что наугад взятое изделие окажется бракованным, равна 3,2%.

Задача 10. Имеются три урны с шарами. В первой находится 5 голубых и 3 красных шара, во второй - 4 голубых и 4 красных, в третьей - 8 голубых шаров. Наугад выбирается одна из урн и из нее наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется красным?  

Решение. Введем обозначения: событие А –извлечен красный  шар. Шар может быть извлечен из первой урны, либо из второй урны,

либо из третьей урны. Обозначим: гипотеза  - шар извлечен из первой урны, гипотеза  - шар извлечен из второй урны, гипотеза  - шар извлечен из третьей урны.

Поскольку имеются одинаковые шансы выбрать любую из урн, то

Из условия задачи следует, что

В соответствии с формулой (7.1) находим искомую вероятность извлечения красного шара: