6.2 Задачи

 

Задача 1. Подбрасывается игральный кубик. Чему равна вероятность того, что выпадет четное число очков?

Решение. Обозначим события: А - выпало четное число очков; - выпало k очков (где k = 1,2,3,4,5,6). Событие А означает, что наступило хотя бы одно из событий:     Т.е. событие А можно записать как сумму событий 

Поскольку события  несовместны, то можно воспользоваться формулой (6.3) при n= 3, учитывая, что вероятность наступления любого из событий  равна т.е.

        (k = 1,2, 3, 4, 5, 6).

Тогда

Замечание. Тот же результат получается и непосредственно по формуле

Задача 2. В урне 40 шариков: 15 голубых, 5 зеленых и 20 белых.

Какова вероятность того, что из урны будет извлечен цветной шарик?

Решение. Извлечение цветного шарика означает появление либо

голубого, либо зеленого шарика. Обозначим событие А – извлечение голубого шарика, событие В – извлечение зеленого шарика.

Вероятность извлечения голубого шарика равна:

где  n  - общее число исходов опыта, n=15+5+20=40,

 число исходов, благоприятствующее извлечению голубого шарика, .

Вероятность извлечения зеленого шарика равна:

где  n  - общее число исходов опыта, n=15+5+20=40,

 число исходов, благоприятствующее извлечению голубого шарика, .

Так как события А и В несовместны, то по формуле (6.2) получаем

3амечание. Тот же результат получается и непосредственно по формуле

где событие С - появление цветного шара, голубого или зеленого. Этому событию благоприятствует 20 элементарных исходов.

Задача 3. Подбрасываются два игральных кубика. Найти вероятность события А - сумма выпавших очков не превосходит четырех.

Решение. Обозначим события:   сумма выпавших очков равна 2,   - сумма выпавших очков равна 3,  - сумма выпавших очков равна 4.

Событие А есть сумма этих трех несовместных событий, т.е.

.

Найдем вероятности событий  Известно, что при бросании двух игральных кубиков общее число исходов n=36. Составим таблицу, позволяющую найти число исходов, благоприятствующих событиям  (таблица 6.1).

Таблица 6.1

Сумма выпавших  очков	Очки первой кости	Очки  первой кости	Число благоприятствующих исходов ()
2	1	1	1
3	1 2	2 1	2
4	1 3 2	3 1 2	3

Из таблицы 6.1 следует, что

     

Поскольку события  несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий получим

3амечание. Тот же результат можно получить непосредственно. Действительно, событию Аблагоприятствуют 6 элементарных исходов (см. таблицу 6.1).  Всего же элементарных исходов возможно 36 (n=36),

поэтому

Задача 4. Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на 3 сектора. Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4, во второй - 0,3. Какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор?

Решение. Обозначим событие А - попадание в первый сектор и событие В – попадание во второй сектор. Эти события  несовместны, т.к. попадание в один сектор исключает попадание во второй, поэтому применима теорема сложения вероятностей несовместных событий.

В соответствии с этой теоремой находим искомую вероятность:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,4 + 0,3 = 0,7.

Задача 5. Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 0,85, а для второго - 0,8. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен?

Решение. Обозначим событие А - попадание первого спортсмена в мишень, событие В - попадание второго спортсмена в мишень, событие С - попадание хотя бы одного из спортсменов в мишень.

Очевидно, что А + В = С, причем события А и В совместны.

В соответствии с формулой (6.1) получаем

P(C) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

Поскольку А и В - независимые события, а для них верна формула

(6.10), можно записать:

Р(С) = Р(А)+ Р(В) - Р(А)Р(В).

Подставив заданные значения Р(А) = 0,85, Р(В) = 0,8 в формулу

для Р(С) , найдем искомую вероятность

Р( С) = (0,85 + 0,8) - 0,85·0,8 = 0,97 .

Задача 6. Симметричная монета подброшена три раза. Какова вероятность того, что цифра выпадет ровно два раза?

Решение. Обозначим события: - выпадение цифры при первом подбрасывании монеты,  - выпадение цифры при втором подбрасывании монеты,  - выпадение цифры при третьем подбрасывании монеты, А - выпадение двух цифр при трех подбрасываниях монеты.

Тогда, событие А можно представить как:

Поскольку слагаемые в правой части этого равенства попарно несовместны, то по формуле (6.3) при n = 3 получаем:

Учитывая, что события   независимые, имеем:

Замечание. Т.к. монета симметричная, считаем вероятность выпадения цифры равной вероятности выпадения герба 

Задача 7. С первого станка на сборку поступило 200 деталей, из

которых 190 стандартных; со второго станка поступило 300 деталей, из которых 280 стандартных.

Найти вероятность события А, состоящего в том, что наудачу взятая деталь будет стандартной, и условные вероятности события А  относительно событий В и  , если событие Всостоит в том, что деталь изготовлена на первом станке.

Решение. Так как детали изготовленные на первом и втором станках хранятся вместе, то вероятность события А равна отношению числа всех имеющихся стандартных деталей к общему числу изготовленных на обоих станках деталей:

Условная вероятность события А относительно события В (т.е. вероятность того, что взятая наудачу деталь стандартная, если известно, что она изготовлена на первом станке):

Условная вероятность события А относительно события , т.е. вероятность того, что взятая деталь стандартная, если известно, что она

изготовлена не на первом (следовательно, на втором) станке:

Обозначения: - общее число деталей, изготовленных на первом и втором станках ответственно,  – число стандартных деталей, поступивших на сборку с первого и второго станков соответственно.

Задача 8. В урне находятся 8 красных и 6 голубых шаров. Из урны

последовательно без возвращения извлекается 3 шара. Найти вероятность того, что все 3 шара голубые.

Решение. Обозначим события: - первый извлеченный шар голубой,  – второй извлеченный шар голубой,  - третий извлеченный шар голубой, А – все три извлеченные шара голубые.

Тогда, событие А можно записать как:

Воспользуемся формулой (6.11), которая при n = 3 принимает вид:

Поскольку

то

3амечание. Эту вероятность можно найти и непосредственным подсчетом с использованием формул комбинаторики.

Поскольку в данном случае

то

 

 

Задача 9. Три стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностями 0,85; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что при одном выстреле хотя бы один из них попадет в мишень.

Решение. Обозначим события: событие А - попадание в мишень первым стрелком, событие В- попадание в мишень вторым стрелком, событие С - попадание в мишень третьим стрелком, D - попадание в мишень хотя бы одним стрелком. Т.е.

D = А+В+C.

Событие D является противоположным событию (это событие обозначает ни одного попадания):

Поскольку события А, В, С независимы, то можно воспользоваться формулой (6.16), которая в данном случае принимает вид

Так как

то

Задача 10. Одновременно подбрасываются две монеты. Найти вероятность появления цифры на обеих монетах.

Решение. Обозначим событие А – выпадение цифры при подбрасывании первой монеты, событие В - выпадение цифры при подбрасывании второй монеты. Учитывая, что монеты симметричны, полагаем вероятности указанных событий равными   Т.е.

События А и В независимы, поэтому искомую вероятность найдем по формуле (6.10):

Задача 11. В урне 6 голубых, 5 красных и 4 белых шара. Из урны

поочередно извлекают шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом извлечении появится голубой шар (обозначим это событие А), при втором извлечении появится красный шар (событие В), при третьем извлечении появится  белый шар (событие С).

Решение. Вероятность появления голубого шара при первом извлечении равна:

Вероятность появления красного шара во втором извлечении, вычисленная в предположении, что в первый раз появился голубой шар, т.е. условная вероятность

Вероятность появления белого шара в третьем извлечении, вычисленная в предположении, что в первый раз появился голубой шар, во второй - красный, т.е. условная вероятность

По формуле (6.12) находим искомую вероятность:

Задача 12. Имеются две урны с шарами трех цветов. В первой

находятся 2 голубых, 3 красных, 5 зеленых, а во второй - 4 голубых, 2

красных и 4 зеленых. Из каждой урны извлекают по одному шару и

сравнивают их цвета. Найти вероятность того, что цвета вынутых шаров

одинаковы.

Решение. Введем обозначение событий: событие А – цвета вынутых шаров одинаковы, событие - из первой урны извлечен голубой шар, событие - из первой урны извлечен красный шар, событие - из первой урны извлечен зеленый шар, событие - из второй урны извлечен голубой шар, событие - из второй урны извлечен красный шар, событие - из второй урны извлечен зеленый шар.

Тогда, событие А можно записать как:

Поскольку события несовместны,

то применима формула (6.3) при n = 3:

Так как события  , то можно пользоваться формулой (6.10) для каждой пары событий. Т.е. можно записать:

Следовательно,

=

Задача 13. Рабочий обслуживает четыре однотипных станка. Вероятность  того, что любой станок в течении часа потребует внимания

рабочего равна 0,6. Предполагая, что неполадки на станках независимы,

найти вероятность того, что в течение часа потребуют внимания рабочего:

а) все четыре станка;

б) ни один станок;

в) по крайней мере один станок.

Решение.  Введем обозначения событий: событие  – в течение часа внимания рабочего потребует первый станок, событие  – в течение часа внимания рабочего потребует второй станок, событие  – в течение часа внимания рабочего потребует третий станок, событие  – в течение часа внимания рабочего потребует четвертый станок. По условию задачи все указанные события независимы.

По теореме умножения вероятностей независимых событий вероятность того, что в течение часа все станки потребуют внимания рабочего, т.е. произойдут события и  и  и  и  выразится формулой (6.13) при n = 4:

Вероятность того, что в течение часа станок (любой) не потребует

внимания рабочего, найдем по правилу вычисления вероятности противоположного события. Для этого вычислим вероятность события состоящего в том, что первый станок в течение часа не потребует внимания рабочего:

Вычислим вероятность события состоящего в том, что второй станок в течение часа не потребует внимания рабочего:

Аналогично получим для третьего и четвертого станков:

Следовательно, вероятность события В, состоящего в том, что ни

один станок в течение часа не потребует внимания рабочего, т.е. произойдут события и                   также выражается формулой (6.13) при n = 4:

)=

= 0,4 . 0,4 . 0,4 . 0,4,= 0,0256.

Событие, состоящее в том, что в течение часа по крайней мере один из четырех станков потребует внимания рабочего, и событие В являются противоположными. Поскольку Р(В) = 0,0256 , то

Задача 14. Мастер обслуживает 5 станков. 10% рабочего времени

он проводит у первого станка, 15% - у второго, 20% - у третьего, 25% - у четвертого, 30% - у пятого. Найти вероятность того, что в наудачу выбранный момент времени он находится:

1) у первого или третьего станка;

2) у второго или пятого станка;

3) у первого или четвертого станка;

4) у третьего или пятого станка;

5) у первого или второго, или четвертого станка.

Решение. Введем обозначение событий: событие А состоит в том, что в наудачу выбранный момент времени мастер находится у первого станка; событие В состоит в том, что в наудачу выбранный момент времени мастер находится у второго станка; событие С состоит в том, что в наудачу выбранный момент времени мастер находится у третьего станка; событие D состоит в том, что в наудачу выбранный момент времени мастер находится у четвертого станка; событие Е состоит в том, что в наудачу выбранный момент времени мастер находится у пятого станка.

Из условия задачи следует, что события А, В, С, D, Е попарно несовместны и

Р(А) = 0,10; Р(В) = 0,15; Р(C) = 0,20;  P(D) = 0,25;  Р(Е) = 0,30.

Принимая во внимание определение суммы событий и теорему сложения вероятностей несовместных событий, находим:

Р(А + C) = Р(А) + Р(C) = 0,10+ 0,20 = 0,30;

Р(В + Е) = Р(В) + Р(Е) = 0,15 + 0,30 = 0,40;

Р(А+ D) = P(A)+P(D) = 0,10+0,25 = 0,35;

Р(C+ Е) = Р(C)+ Р(Е) = 0,20+0,30 = 0,50;

Р(А+ В+ D) = Р(А)+ Р(В)+ P(D) = 0,10+ 0,15 +0,25 = 0,50.

Задача 15. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное

число окажется кратным или 2, или 7, или тому и другому одновременно.

Решение. Введем обозначения событий: событие А - наудачу взятое двузначное число кратно2, событие В - наудачу взятое двузначное число кратно 7.

Необходимо найти Р(А + В). Поскольку А и В - совместные события, то следует пользоваться формулой (6.1). Двузначных чисел

всего 90 (это числа от 10 до 99). 45 чисел из них кратны 2 (являются

четными), они благоприятствуют событию А. 13 чисел из  этих 90 чисел кратны 7; 7 чисел кратны 2и 7 одновременно (благоприятствуют событию АВ).

Таким образом,

Следовательно,

Задача 16. Из урны, содержащей 3 голубых и 2 красных шара, по

схеме случайного выбора без возвращения последовательно извлекаются шары. Найти вероятность  того, что красный шар впервые появится при k-ом испытании (k = 1, 2, 3,4).

Решение. Ведем обозначения для событий: событие  - появился красный шар при k-омиспытании, событие  - впервые красный шар появился при k-ом испытании (k = 1,2,3,4).

Запишем события  

1)    Красный шар впервые появился при первом испытании:

2)    Красный шар впервые появился при втором испытании:

3)    Красный шар впервые появился при третьем испытании:

4)    Красный шар впервые появился при третьем испытании:

.

В соответствии с формулой (6.11) получаем:

).

Найдем вероятность того, что красный шар появился при первом опыте:

Вероятность противоположного события (при первом испытании красный шар не появился) равна:

Найдем вероятность события «красный шар не появился при i+1 попытке»:

Найдем вероятность события «красный шар появился при i+1 попытке»:

 Тогда искомые вероятности равны:

)=

Задача 17. Сколько раз нужно подбросить два игральных кубика,

чтобы вероятность выпадения хотя бы один раз двух шестерок была бы

больше 1/2? (Эту задачу впервые поставил французский математик и

писатель де Мере (1610-1684), поэтому задача часто называется его именем).

Решение. Введем обозначение:  событие  - выпадение двух шестерок при i-ом подбрасывании.

Так как с каждой из шести граней первого кубика может выпасть любая из шести граней второго кубика, то всего возможно 6·6 = 36 равновозможных и попарно несовместных событий.

Только одно из этих 36 событий – выпадение шести очков и на первом и на втором кубике – благоприятствуют событию . Следовательно,

Тогда вероятность невыпадения двух шестерок при i-ом подбрасывании равна:

Подбрасывания игральных кубиков - независимые испытания, причем вероятность наступления события  в каждом испытании одинакова и равна p, поэтому можно воспользоваться формулой (6.17), которая в данном случае принимает вид:

        или       , откуда    .                                                     

Из этого неравенства найдем n. Логарифмируя, получаем

Откуда

Т.о., чтобы вероятность выпадения двух шестерок была больше 1/2, нужно подбросить кубик не менее 25 раз.

Задача 18. Вероятность того, что событие появится хотя бы один

раз в трех независимых испытаниях, равна 0,973. Найти вероятность

появления события в одном испытании (предполагается, что во всех

испытаниях вероятность появления события одна и та же).

Решение. Поскольку рассматриваемые события независимы и вероятность появления события в каждом опыте одинакова, то применима формула (6.17), т.е.

По условию

Р(А) = 0,973, n = 3.

Следовательно,

Или

=1-0,973=0,027.

Искомая вероятность

Задача 19. Слово папаха составлено из букв разрезной азбуки.

Карточки с буквами тщательно перемешивают. Четыре карточки извлекаются по очереди и раскладываются в ряд. Какова вероятность получить таким путем слово папа?

Решение. Введем обозначения: событие А – первой извлечена буква п, событие В – второй извлечена буква а, событие С – третьей извлечена буква п, событие D –четвертой извлечена букваа. Все буквы извлекаются из набора в 6 букв.

Найдем вероятность события  А:

Найдем вероятность события  B при условии, что событие А уже произошло:

Найдем вероятность события  C при условии, что события А и В уже произошли:

Найдем вероятность события  D при условии, что события А, В  и С уже произошли:

В соответствии с формулой (6.11) при n = 4 получаем:

P(ABCD)=P(A)P(B/A)P(C/AB)P(D/ABC)=