9 Теоремы Лапласа

9.1 Справочный материал

 

        Локальная теорема Лапласа

Если вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний равна одной и той  же постоянной величине р (0 < р < 1), то вероятность  того, что во всех этих испытаниях событие А появится ровно k раз, приближенно выражается формулой:

                                   (9.1)

или

                                                (9.2)

при

                                                                   (9.3)

где

                                                     (9.4)

Отметим, что таблицы значений функции (9.4) обычно даются в приложениях к учебникам и учебным пособиям по теории вероятностей и математической статистике. Они имеются и в данном практикуме.

        Интегральная теорема Лапласа

Если вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний равна одной и той  же постоянной величине р (0 < р < 1), то вероятность  того, что во всех этих испытаниях событие А появится не менее  раз и не более  раз, приближенно определяется формулой:

                                    (9.5) 

где

                                          (9.6)

Эту формулу можно представить в виде:

                                   (9.7) 

где Ф(х) - функция Лапласа, т.е.

                                              (9.8)   

а  и  определяются равенствами (9.6).

3амечание. Приближенными формулами Лапласа (9.1) и (9.5) на

практике пользуются в случае, если npq > 10. Если же npq < 10, то эти формулы приводят к большим погрешностям.

                   Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Вероятность того, что при n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), модуль

отклонения частоты появления события от вероятности события не превышает положительного числа , приближенно равна удвоенному значению функции Лапласа при   

                                         (9.9)

9.2 Задачи

 

Задача 1. Вероятность появления события А в каждом из 900 независимых испытаний равна р = 0,8. Найти вероятность того, что событие А произойдет: а) 750 раз; б) 710 раз.

Решение. Из условия следует, что n = 900, р = 0,8, поэтому q = =1-0,8=0,2.

а)  k = 750, следовательно, npq = 900· 0,8 . 0,2 = 144 > 10, поэтому можно воспользоваться формулами (9.1), или (9.2) - (9.4).

Воспользуемся формулами (9.2) - (9.4).

По формуле (9.3) определяем х:

По таблице значений функции  находим ее значение при x=2,5:

Согласно формуле (9.2) получаем искомую вероятность:

Аналогично находим вероятность во втором случае, принимая во

внимание четность функции :

 Задача 2. Сколько раз с вероятностью 0,0484 можно ожидать появление события А в 100независимых испытаниях, если вероятность его появления в отдельном испытании равна 0,5?

Решение. Воспользуемся формулой (9.1):

 Разберемся с обозначениями. Из условия следует, что n = 100, , р = 0,5,q=1-p=1- 0,5 = 0,5; требуется определить k.

По формуле (9.3) находим х:

Теперь выражение (9.2) можно записать как:

=0,0484.

Отсюда находим  = 0,0484·5,  = 0,242.

По таблицам значений функции  определяем х:

x=1,0.

Тогда k равно:

k=5x+50=51,0+50=55.

k=55.

Задача 3. Вероятность появления события А в каждом из 900 независимых испытаний равна р= 0,8. Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее 710 раз и не более 740 раз.

Решение. По условию n = 900, = 710, =740, p=0,8, поэтому q =1-p= 0,2.

Согласно формулам (9.6) находим:

По таблице значений функции Лапласа, учитывая нечетность функции, находим

В соответствии с формулой (9.7) получаем искомую вероятность

Задача 4. Вероятность того, что электролампочка, изготовленная данным заводом, является бракованной, равна 0,02. Для контроля отобрано наугад 1000 лампочек. Оценить вероятность того, что частота бракованных лампочек в выборке отличается от вероятности 0,02 менее чем на 0,01.

Решение. Обозначим через k - число бракованных лампочек в выборке. По условию требуется оценить вероятность неравенства:

Отсюда найдем, в каких границах заключено число k:

или

или

Откуда

Таким образом, можно записать границы числа k:

Поскольку npq =1000· 0,02 . 0,98 = 19,6 > 10, то для вычисления вероятности   воспользуемся выражением (9.7), предварительно определив :

По таблице значений функций Лапласа находим:

Тогда искомая вероятность равна:

     

Задача 5. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900посаженных семян число проросших заключено между 790 и 830.

Решение. Для нахождения искомой вероятности воспользуемся

формулой (9.7).

Из условия следует, что n = 900, = 790, =830, p=0,9, поэтому q =1-p= 0,1.

По формулам (9.6) определяем:

По таблице значений функции Лапласа, учитывая нечетность функции, находим

Согласно формуле (9.7) получаем искомую вероятность

Задача 6. Производство дает 1 % брака. Какова вероятность того,

что из взятых на исследование 1100 изделий выбракованных будет не

более 17?

Решение. Из условия следует, что n = 1100, p = 0,01, q = 0,99,

.  По формулам (9.6) определяем:

По таблице значений функции Лапласа, учитывая нечетность функции, находим

Согласно формуле (9.7) получаем искомую вероятность

Задача 7. Вероятность изготовления детали первого сорта на данном станке равна 0,8. Найти вероятность того, что среди наугад взятых 100 деталей окажется 75 деталей первого сорта.

Решение. Искомую вероятность найдем по формуле (9.2). По условию n = 100, k = 75, p = 0,8; значит q = 1- p = 0,2.

Согласно формуле (9.3) найдем:

По таблице найдем

Следовательно,

Оглавление

Введение

1 Основные понятия. Классическое определение вероятности

1.1      Теория

1.2      Задачи

2     Комбинаторика и вероятность

2.1      Теория

2.2      Задачи

3     Частота события. Статистическое определение вероятности

3.1      Справочный материал

3.2 Задачи

4 Геометрическое определение вероятности

4.1 Справочный материал

4.2 Задачи

5 Действия над событиями. Соотношения между событиями

5.1 Справочный материал

5.2 Задачи

6 Сложение и умножение вероятностей

6.1 Справочный материал

6.2 Задачи

7 Формула полной вероятности

7.1 Справочный материал

7.2 Задачи

8 Формулы Байеса

8.1 Справочный материал

8.2 Задачи

9 Теоремы Лапласа

9.1 Справочный материал

9.2 Задачи

Приложение 1

Таблица значений функции 

Приложение 2

Таблица значений функции