3.3. Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей

Вычислим моменты инерции относительно осей x₁ и y₁, если известны моменты инерции относительно центральных осей x, y, параллельных осям x₁ и y₁ (рис.3.5).

Рис.3.5.

На основании формул (3.5), (3.6) имеем:

,

; (3.18)

Из рисунка 3.5. видим = х+а; = y+ b

Подставляя эти значения в (3.18) получим :

.

Так как ось x является центральной, то статический момент S_x относительно этой оси равен нулю, следовательно,

, (3.19)

аналогично (3.20)

Таким образом, момент инерции сечения относительно какой либо оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной заданной , плюс произведение квадрата расстояния между осями на площадь сечения.

Центробежный момент относительно осей Х₁, Y₁ равен

. (3.21)

Величины a,b необходимо подставлять в формулу (3.21) с учетом их знаков в системе координат x,y. Если сечение симметрично и одна из центральных осей (или обе) совпадает с осью симметрии, то J_xy = 0 и выражение (3.21) приобретает вид:

(3.22)

3.4. Изменение моментов инерции при повороте осей

Считаем, что заданы моменты инерции _, , сечения относительно осей x,y.

Выберем новую систему координат x₁y₁ c началом в той же точке O, но повернутую на угол α относительно первой. Угол α примем положительным при повороте исходной системы координат против хода часовой стрелки (рис.3.6).

Рис.3.6.

Как видно из рисунка, координаты элемента dF выражаются через координаты xy следующим образом:

x₁ = x cos + y sin ; y₁ = y cos – x sin . (3.22.а)

Подставив выражения (3.22,а) в интегралы (3.18) находим:

(3.23)

_, (3.24)

. (3.25)

Складывая почленно выражения (3.23) и (3.24) получим

J + J = J _x + J_y = J_p . (3.26)

Таким образом, сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей остается постоянной при повороте осей на любой угол и равна полярному моменту инерции относительно начала координат.

3.5. Главные оси и главные моменты инерции

Исследование зависимостей (3.23) и (3.24) на экстремум показывает, что существует такое положение двух взаимно перпендикулярных осей, при котором осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, т.е. достигают максимума и минимума, причем для одной оси момент инерции максимален, для другой минимален.

Оси, относительно которых осевые моменты инерции экстремальны (максимальны и минимальны) называются главными осями. Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения называются главными центральными осями.

Чтобы найти значение угла α_о, определяющего положение главных осей, исследуем на экстремум зависимость (3.23). Для этого приравняем нулю первую производную по α от J :

Отсюда

. (3.27)

Сравнивая этот результат с выражением (3.25) приходим к заключению, что центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю.

Из (3.27) получим:

. (3.28)

Подставляя α₀ в формулы (3.23) и (3.24) найдем значения главных моментов инерции:

. (3.29)

В разделе 3.3. было отмечено, что относительно двух взаимно перпендикулярных осей, из которых хотя бы одна является осью симметрии, центробежный момент равен нулю. Следовательно, если сечение имеет ось симметрии, то это одна из главных центральных осей, вторая проходит через центр тяжести перпендикулярно первой.

Для сечений имеющих более двух осей симметрии, осевые моменты инерции относительно всех центральных осей являются главными и равны между собой (круг, квадрат, равносторонний треугольник и др.)

Пример 3.2. Для заданного сечения (рис.3.7) определить положение главных центральных осей и вычислить значения главных центральных моментов инерции.

Сечение составлено из швеллера №20 и листа сечением 220 х 10 мм.

Решение.

Выберем вспомогательные оси х,y. Выпишем координаты центров тяжести сечений швеллера С₁ и листа С₂ в этих осях и их площади.

Координаты центра тяжести швеллера:

x₁= 2,07 см; y₁ = 11см; площадь сечения F₁= 23,4 см³.

Размеры и другие геометрические характеристики швеллера находим по таблице сортамента.

Координаты центра тяжести листа: x₂= 11см,

y₂ = 0,5см, площадь сечения F₂ = 22 х 1 = 22см².

Проведем центральные оси швеллера и листа .

Рис.3.7.

По формулам 3.4 вычисляем координаты центра тяжести всего сечения:

,

.

Здесь S_1x = F₁y₁; S_2x = F₂y₂; S_1y = F₁x₁; S_1y = F₂x₂ – статические моменты сечений швеллера и листа относительно осей х, y.

Через центр тяжести С всего сечения проведем оси x_с и y_c параллельно осям х,y.

Выпишем необходимые для дальнейшего расчета данные. Координаты центров тяжести сечений швеллера и листа в осях x_c и y_c:

а₁ = x₁- x₂ = 2.07 – 6.4 = -4, 33см;

b₁ = y₁- y₂ = 11-5, 91= 5,09 см;

а₂ = x₂- x_c = 11 – 6.4 = 4,6 см;

b₂ = y₂ – y_c = 0,5 – 5,91 = - 5, 41см.

Проверим правильность определения положения центра тяжести всего сечения. Для этого определим статические моменты сечения относительно осей х_с и y_c. Эти статические моменты при правильном определении координат х_с и y_c должны быть равны нулю.

Sx_c = F₁b₁ + F₂b₂= 23,4 5,09 + 22 (-5,41) = 119,1 – 119,0 0;

Sy_c = F₁ а ₁ + F₂ а ₂= 23,4 (-4,33) + 22 4,6 = -101,3 + 101,2 .

Таким образом, координаты х_с и y_с центра тяжести всего сечения найдены правильно.

Моменты инерции сечения швеллера относительно собственных центральных осей х₁и y₁ (выписываем из таблицы сортамента):

J x₁ = 1520 см⁴; Jy₁ = 113 см⁴.

Центробежный момент инерции J x₁y₁ = 0

(так как ось х₁ - ось симметрии и поэтому оси х₁ , y₁ – главные оси сечения швеллера).

Моменты инерции сечения листа определим по формулам (3.9) и (3.10)

,

,

J = 0.

Вычислим моменты инерции всего сечения относительно осей х_с и y_с используя формулы перехода к параллельным осям (3.19) (3.21)

Jx_c = J + b₁²F₁+ Jx₂+ b₂²F₂ = 1520+ (5,09)² 23,4 + 1,83 + (-5,41) ² 22 = 2126 + 645,7 = 2772 (см⁴),

Jy_c = J + a₁²F₁+ J + a₂²F₂ = 113+ (- 4,33)² 23,4 + 887,3+ (4,6)² 22 = 551,7 + 1352,8 = 1905 (см⁴),

J _XcYc = J x₁y₁+ a₁ b₁F₁ + J x₂y₂ + a₂b₂ F₂ = 0 + (-4,33) 5,09 23,4 + 0 + 4,6 (-5,41) 22 = -1063,2 (см⁴).

Определим угол наклона главных центральных осей к центральным осям х_с, y_c :

,

2α₀ = 67,8⁰ ; α₀ = 34⁰.

Положительный угол откладываем от оси х_с против хода часовой стрелке.

Величины главных центральных моментов инерции определяем по формуле (3.29)

,

2α₀= 67,8⁰; α₀= 34⁰.

Положительный угол откладываем от оси х_с против хода часовой стрелки.

Величины главных центральных моментов инерции определяем по формуле (3.29)

,

J_max = 3487 см⁴; J_min= 1190 см⁴.

Для того, чтобы установить, относительно какой оси момент инерции максимален и относительно какой минимален, можно сопоставить значения моментов инерции Jx_c и Jy_c.

Поскольку Jx_c Jy_{c. ,} то J_max= J_xo и J_min= J_yo.

Проверка.

Центробежный момент инерции всего сечения относительно главных центральных осей должен равняться нулю.

По формуле (3.25) получаем:

.

Следовательно, вычисления выполнены верно.