2.3. Кручение бруса прямоугольного поперечного сечения
Гипотеза плоских сечений (Бернулли) на основе которой решена задача о кручении вала круглого сечения, не применима при кручении бруса некруглого поперечного сечения. Поперечные сечения искривляются (депланируют), вследствие этого не удается определить напряжения в сечениях методом сопротивления материалов.
Приведем результаты решения задачи методами теории упругости для бруса прямоугольного сечения.
Касательные напряжения в поперечном сечении в точках, расположенных вблизи контура, направлены по касательной к контуру и достигают максимального значения в точках по серединам больших сторон.
В угловых точках и в центре сечения напряжения равны нулю (рис.2.13).
Рис.2.13
Наибольшие касательные напряжения равны:
, (2.18)
где
Wк
=
момент сопротивления сечения при
кручении;
-
большая и меньшая стороны прямоугольника;
-
коэффициент
зависящий от отношения сторон
и
.
Напряжения по серединам коротких сторон прямоугольника равны
. (2.19)
Взаимный угол поворота сечений определяется по формуле:
, (2.20)
где
Jк
=
- момент инерции сечения при кручении.
Некоторые значения коэффициентов ,β,η в зависимости от отношения a/b приведены в таблице 2.1.
Таблица 2.1
a/b |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
2,5 |
3,0 |
4,0 |
5,0 |
8,0 |
10,0 |
8 |
|
0,208 |
0,231 |
0,246 |
0,258 |
0,267 |
0,282 |
0,291 |
0,307 |
0,312 |
0,333 |
β |
0,141 |
0,196 |
0,229 |
0,249 |
0,263 |
0,281 |
0,291 |
0,307 |
0,312 |
0,333 |
η |
1,00 |
0,859 |
0,795 |
0,766 |
0,753
|
0,745 |
0,744 |
0,742 |
0,742 |
0,742 |
Прочность и жесткость бруса прямоугольного сечения при кручении меньше , чем круглого сечения с равной площадью сечения.
2.4. Кручение брусьев тонкостенного профиля
Тонкостенные профили подразделяются на открытые (рис.2.14) и замкнутые (рис.2.15).
Рис.2.14
Рис.2.15
При
кручении бруса открытого тонкостенного
профиля профиль разбивают на прямоугольные
элементы. Так как толщина
этих элементов значительно меньше их
длины s,
то в соответствии с данными таблицы
2.1. при
α = β = 1/3.
Таким образом, для составного профиля момент инерции сечения при кручении:
, (2.21)
где i – количество прямоугольных элементов, на которые разделен профиль;
-
поправочный коэффициент, учитывающий
реальную геометрию профиля.
Для некоторых прокатных профилей принимаются следующие значения коэффициента ηi:
уголок η = 1; двутавр η=1,20; швеллер η=1,12.
Угол закручивания на участке l равен:
. (2.22)
Максимальное касательное напряжение возникает в элементе, имеющем наибольшую толщину, и определяется по формуле:
. (2.23)
При кручении бруса замкнутого тонкостенного сечения геометрические характеристики Jк и Wк определяются по формулам:
, (2.24)
, (2.25)
где
– площадь, ограниченная средней линией
контура. Таким образом:
, (2.26)
. (2.27)
При постоянной толщине стенки профиля формула (2.27) принимает вид:
. (2.28)
Для
тонкостенной трубы кольцевого сечения
с радиусом срединной линии R
и при
формулы (2.26) и (2.27) примут вид:
, (2.29)
. (2.30)