2. Кручение

2.1. Основные понятия. Внутренние силовые факторы

Кручение – такой вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент (м_к). Остальные внутренние силовые факторы (продольная и поперечные силы, изгибающие моменты) равны нулю. Внешние силы, вызывающие кручение бруса, приводятся к моментам относительно его оси, эти моменты называют скручивающими. Брус, подверженный кручению, принято называть валом.

Крутящий момент определяется методом сечений. Примем следующее правило:

Крутящий момент в сечении равен алгебраической сумме внешних (скручивающих) моментов, приложенных к отсеченной части вала. Крутящий момент, направленный против часовой стрелки, если смотреть со стороны сечения, принимается положительным (рис.2.1).

Рис.2.1.

Отметим, что знак крутящего момента не имеет физического смысла и не влияет на прочность вала. Для определения опасного сечения строится эпюра крутящих моментов, т.е. график изменения М_к вдоль оси вала. Если размеры поперечного сечения по длине вала не меняются, то опасным будет то сечение, где крутящий момент максимален (по абсолютному значению). Примеры построения эпюр показаны на рис.2.2.

Рис.2.2

Моменты на рисунке 2.2. условно обозначены в виде двух кружков. Кружок с точной соответствует направлению стрелки на наблюдателя, а кружок с крестиком – от наблюдателя.

2.2. Напряжения и перемещения при кручении вала круглого сечения

Примем следующие допущения: поперечные сечения вала при действии на него внешних скручивающих моментов поворачиваются в своей плоскости как жесткие диски (гипотеза плоских сечений или Бернулли); в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения. Формулы, полученные на основе этих допущений, подтверждаются опытами.

Выделим из вала бесконечно близкими двумя поперечными сечениями и двумя цилиндрическими поверхностями элементарный цилиндр, показанный на рис.2.3.

Рис.2.3.

Правое сечение цилиндра поворачивается относительно левого при кручении вала на угол . Угол на который поворачивается отрезок АВ на поверхности цилиндра представляет собой угол сдвига.

Из рисунка видно, что ВВ₁ = , отсюда получаем

= ρ . (2.1)

Здесь обозначено .

Величину называют относительным углом закручивания.

По закону Гука при сдвиге (см.формулу 1.6.)

, (2.2)

здесь G – модуль сдвига.

Сравнивая выражения (2.1) и (2.2), получим следующее соотношение между касательным напряжением в поперечном сечении вала и относительным углом закручивания :

G . (2.3)

Отметим, что формула (2.1) отражает геометрическую сторону задачи (условие совместности деформаций и перемещений), формула (2.2.) – физическую сторону (закон Гука), формула (2.3.) – результат рассмотрения геометрической и физической сторон задачи.

Рассмотрим статическую сторону задачи. Выразим крутящий момент через касательные напряжения, суммируя элементарные моменты ( (Рис.2.4.)

Рис.2.4

. (2.4)

Подставив в (2.4) напряжение из (2.3) получим:

. (2.5)

Введем обозначение:

. (2.6)

Интеграл (2.6.) представляет собой геометрическую характеристику и называется полярным моментом инерции сечения, его размерность м⁴. Таким образом

. (2.7)

Отсюда относительный угол закручивания

. (2.8)

Учитывая, что , получим выражение для определения угла закручивания

, (2.9)

где l - расстояние между сечениями, между которыми определяется взаимный угол поворота.

В случае, если диаметр вала и крутящий момент на длине l постоянны, то

. (2.10)

Произведение GJ_p называется - жесткостью поперечного сечения круглого вала при кручении,

G J_P / l - жесткость вала длиной l.

Подставляя (2.8) в (2.3) получим

(2.11)

Из формулы (2.11) следует, что касательные напряжения в поперечных сечениях вала при кручении распределяются по линейному закону вдоль любого радиуса.

При ρ=0 (в центре сечения) , максимального значения напряжения достигают в поперечном сечении вала у его поверхности при ρ = R.

Эпюра касательных напряжений показана на рис. 2.5

Рис.2.5.

. (2.12)

Отношение J_max / ρ_max = W_p называется полярным моментом сопротивления сечения.

С учетом этого обозначения запишем выражение для максимального касательного напряжения в виде:

. (2.13)

Отметим, что для круглого сечения

, (2.14)

. (2.15)

Для кольцевого сечения:

) = ⁴) , (2.16)

⁴)= ⁴) , (2.17)

где R_o, D_o – внутренний радиус и диаметр кольцевого сечения,

С= D_o/ D = R_o/R.