2.7. Статически неопределимые задачи при кручении

Расчеты на прочность и жесткость при кручении, как правило, начинают с определения внутренних силовых факторов (крутящих моментов). Если крутящие моменты не могут быть определены методом сечений с помощью одних только уравнений равновесия, то такая задача является статически неопределимой.

Для ее решения кроме статической стороны задачи, необходимо рассмотреть геометрическую сторону - составить условия совместности перемещений, и физическую - выразить перемещения (углы закручивания) через крутящие моменты по формуле Гука. Рассмотрим решение статически неопределимых задач на примерах.

Пример 2.4. Определить из расчетов на прочность и жесткость допускаемое значение скручивающего момента М для вала круглого сечения, жестко заземленного обоими концами и нагруженного, как показано на рис.2.17, а.

Рис.2.17

Допускаемое касательное напряжение [ ]= 80 МПа, допускаемый угол закручивания [ ] = 0,05 рад, модуль сдвига материала вала G = 0,8 1011Па, α=0,2м., b=0,4м., d=0.02м.

Решение. Решение задачи начинаем с определения опорных реактивных моментов. Отбросим опоры и заменим их действие на вал моментами Ма и Мв (рис.2.17, б). для определения двух реактивных моментов в данном случае можно составить только одно уравнение равновесия:

= М - ,

М_А + М_{В =} М.

Таким образом, задача один раз статически неопределима. Применяя метод сечений, выразим внутренние силовые факторы (крутящие моменты) на первом и втором участках через неизвестный пока реактивный момент М_А и момент М_В:

М = М_А , М = М_А – М.

Рассмотрим условие совместности деформаций двух участков (геометрическую сторону задачи).

Взаимный угол поворота сечений А и В равен нулю, так как оба сечения закреплены.

Т.е. = 0.

По формуле Гука (физическая сторона задачи):

где J_{Р –} полярный момент инерции сечения

Подставляя эти выражения в условие совместности деформации, получим:

М_А ( +b) = М b,

; .

Эпюра крутящих моментов показана на рис.2.17, в.

Максимальные касательные напряжения, возникающие в поперечных сечениях, будут равны:

на первом участке : ,

на втором участке: .

Здесь - полярный момент сопротивления сечения.

Наибольшие напряжения возникают на первом участке, сравниваем их с допускаемыми

Из этого условия прочности находим момент М

Для расчета вала на жесткость построим эпюру углов закручивания:

при z = 0 = 0;

при Z = a ,

где ,

,

при Z = + b, = 0.

Эпюра показана на рис. 2.17, г.

Условие жесткости имеет вид:

,

отсюда .

Из двух значений момента М, полученных из расчетов на прочность и жесткость, за допускаемое значение принимаем меньшее, т.е. [М] = 188 Н .

8. Рациональные формы сечения при кручении

Равнопрочные валы из одного материала, в сечениях которых при одинаковых крутящих моментах возникают одинаковые максимальные касательные напряжения, имеют при различных формах сечений одни и те же полярные моменты сопротивления W_Р (или в случае некруглого сечения одни и те же W_К), но площади F этих сечений различны.

Рациональной будет та форма, для которой площадь сечения наименьшая, т.е. наименьший вес вала, наименьший расход материала. Таким образом, за критерий рациональности формы сечений можно было бы принять отношение W_P / F, но так как это отношение является величиной размерной, то удобнее для сравнения различных сечений принять безразмерную величину, называемую - удельным моментом сопротивления при кручении:

(2.39)

В таблице 2.1. приведены значения для некоторых сечений

Таблица 2.1.

Форма сечения
Швеллер, двутавр	0,04 – 0,07
Прямоугольник h/в =10	0,1
Квадрат	0,21
Круглое сплошное сечение	0,28
Кольцевое сечение с = d / D = 0,5 с = 0,9	0,37 1,16

Из таблицы видно, что швеллер, двутавр, узкий прямоугольник самые нерациональные формы сечений при кручении.

Рациональными являются кольцевые сечения, особенно при малой толщине стенок.

При расчете на жесткость в качестве критерия рациональности формы сечения вала принимают величину:

i_К= J_К / F² , (2.40)

где J_К – момент инерции сечения при кручении (для круглого и кольцевого сечений i_Р= J_Р / F² ).

Критерий i_K - называют удельным моментом инерции сечения при кручении;

i_P- удельным полярным моментом инерции.

По данному критерию кольцевые сечения являются еще более эффективными, чем при расчете на прочность.