Тема 13. Тригонометрическая форма комплексного числа. Извлечение корней из комплексных чисел

z = r (cos + isin), где r > 0,   [0;2] называется тригонометрической формой комплексного числа.

Известно, что любое комплексное число, отличное от 0, имеет единственную тригонометрическую форму. Нуль тригонометрической формы не имеет.

Если z = r (cos + isin), где r > 0 и   [0;2], то r = | z |,  = arg z. Легко представить в тригонометрической форме комплексные числа a, bi. Именно:

если a > 0, то a = a(cos0 + isin0); если a < 0, то a = (a)(cos + isin);

если b> 0, то bi = b(cos + isin ); если b < 0, то bi = (b)(cos + isin ).

Э тот вывод полезно иллюстрировать следующими рисунками:

Как видим, в этих случаях не требуется никаких вычислений. Пусть теперь a  0, b  0. Обозначим

Если a > 0, b > 0, то z = | z|(cos + isin); если a < 0, b > 0, то z = | z|(cos(  ) + isin(  ));

если a < 0, b < 0, то z = | z|(cos( + ) + isin( + )); если a > 0, b < 0, то z = | z|(cos(2  ) + isin(2  )).

Снова обратимся к иллюстрациям:

Если z₁, z₂ представлены в тригонометрической форме, то

, .

Формула Муавра:

Комплексное число , удовлетворяющее условию , называется корнем n-ой степени из числа z.

Если z  0 и n  N, n > 1, то (где  арифметический корень n-ой степени,  - аргумент комплексного числа z) все корни n-ой степени из числа z.

В частности, .

Извлечь из комплексного числа квадратный корень можно, не представляя данное число в тригонометрической форме. Формулы, по которым вычисляются эти корни, трудны для запоминания, поэтому лучше понять метод вычисления корней.

Пусть z = a + bi и   его квадратный корень,  = x + iy. Тогда  ² = x² – y² + 2xyi = z.

Отсюда Решив эту систему мы найдем оба квадратных корня из числа z.

Практические задания

1. Представить в тригонометрической форме следующие числа:

а) 1; б) – 1; в) i; г) – i; д) 1 + i; е) – 1 + i; ж) – 1 – i;

з) – 1 – i ; и)  i; к) 1 + i ; л) 1 – i ; м) – 1 + i ; о) + i;

п)   i; р)  + i; с) ; т) ;

у) ; ф) 3 + i; х) 4 – i; ц) – 2 + i; ч) – 3 – 5i.

2. Найдите множество точек плоскости, изображающей комплексные числа z, для которых:

а) arg z = 0; б) arg z = ; в) arg z = ; г) arg z = .

3. Вычислите: а) ; б) ; в) .

4. Выразите через tg x: а) tg 5x; б) ctg 7x; в) sin 6x.

5. Рассматривая , вычислите суммы: где - биноминальный коэффициент, .

6. Пользуясь представлением комплексного числа в тригонометрической форме, вычислите суммы: .

7. Извлеките корни:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ;

л) ; м) ; н) ;

о) ; п) .

8. Покажите, что все корни уравнения , где n  N, a  R, действительны и различны.

9. Пусть  – один из корней n-й степени из задания 8. Вычислите:

а) б)

10. Пусть . Вычислите: а) ; б) .

11. Вычислите сумму .

12. Выразите в виде многочлена первой степени от косинусов и синусов углов, кратных х:

а) sin³x; б) cos⁵x; в) sin⁵x; г) cos⁶x.

13. Найдите все корни из единицы степени 2, 3, 6, 8, 12, 24.

14. Найдите все комплексные корни уравнений: а) z³ + 2 + 2i = 0; б) z⁶ + i = 0; в) z⁵ – 1 = 0.

15. Найдите все первообразные корни из единицы степеней: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 24. (Первообразным корнем n-ой степени из 1 называется такой корень , что – множество всех корней n-ой степени из 1).

16. Докажите, что произведение корня степени m из 1 на корень степени n из 1 есть корень степени mn из 1.

17. Докажите, что если m и n – взаимно простые натуральные числа, то все корни степени mn из 1 получаются умножением корней степени m из 1 на корни степени n из 1.