Практические задания

1. Может ли система m линейных уравнений с n переменными иметь единственное решение, если m < n?

2. Ступенчатая система содержит параметр  только в последнем уравнении, которое здесь приводится: . Какие варианты решения в зависимости от значения  возникают? Зависят ли они от полей, над которыми решается система?

Исследуйте систему и найдите общее решение над полем С в зависимости от значения параметра :

3.	4.	5.
6.	7.

8. Каким может быть соотношение между рангом матрицы системы и рангом расширенной матрицы системы?

Самостоятельная работа

1. Придумайте систему уравнений с одним параметром такую, что в зависимости от значений параметра имели бы место все три случая: единственного решения, бесконечного множества решений, отсутствия решений.

2. Исследуйте системы и найдите общее решение над полем С в зависимости от значения параметра : а) б)

3. Исследуйте и решите при соответствующих значениях параметров системы линейных уравнений:

а) б) с)

6. Исследуйте системы и найдите общее решение в зависимости от значения параметра :

а) б)

Задачи повышенной трудности

Исследуйте системы уравнений и найдите общее решение в зависимости от значений входящих в коэффициенты параметров:

а) б) с) д)

Тема 17. Матрицы и действия над ними

Две матрицы одинакового размера и складываются по правилу

Сложение матриц коммутативно, ассоциативно, имеется нейтральный элемент Ơ . Каждая матрица имеет противоположную . Таким образом, матрицы одного размера с элементами из некоторого поля Р относительно сложения образуют абелеву группу. Матрицы разных размеров складывать нельзя.

Строка из n элементов и столбец из n элементов (то есть матрица размера 1 n и n 1) умножается по следующему правилу: .

Можно перемножить матрицы и . В результате получится матрица , при этом , где  i-я строка матрицы А, k-й столбец матрицы В.

Умножение матриц ассоциативно, и если матрицы квадратные одного порядка, то имеется нейтральный элемент – единичная матрица .

Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения матриц.

Квадратные матрицы одного порядка относительно сложения и умножения образуют кольцо с единицей и делителями нуля.

Чтобы умножить матрицу на элемент поля, следует все элементы матрицы умножить на данный элемент, то есть .

Операция транспонирования – замена данной матрицы на матрицу (то есть каждый элемент матрицы А, расположенный в ее i-ой строке и k-ом столбце располагается в новой матрице в i-ом столбце и k-ой строке).

Матрица размера 1  n отличатся от строки с n элементами только отсутствием запятых.

Практические задания

1. Выпишите элементы матрицы С, являющейся произведением матриц размера 5  4 и матрицы размера 4  7.