Практические задания
1.
Пусть
– векторы
.
Покажите, что система, из них состоящая,
линейно зависима тогда и только тогда,
когда
.
2.
Векторы
линейно зависимы. Найдите связь между
и .
3.
Докажите, что система векторов
линейно независима и что любой вектор
линейно выражается через эту систему.
4.
Докажите, что следующая система векторов
линейно независима:
.
5.
Найдите линейную комбинацию
векторов:
.
6.
Докажите, что следующая система векторов
линейно зависима:
.
7.
Найдите вектор
из уравнения
,
где
.
8.
Дана система векторов:
.
Можно ли вектор
представить в виде линейной комбинации
векторов:
а)
;
б)
;
в)
?
9. Найдите все максимальные линейно независимые подсистемы следующей системы векторов:
а)
;
б)
.
10.
Найдите все значения ,
при которых вектор
линейно выражается через остальные
векторы данной системы:
-
а)
;
б)
.
11. Найдите ранги следующих систем векторов:
-
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
12. Найдите ранги следующих матриц:
-
а)
;б)
;в)
;г)
;д)
;е)
;ж)
;з)
.
Самостоятельная работа
1. Постройте систему из четырех линейно независимых пятимерных векторов.
2.
Даны векторы
.
Подберите еще два вектора
так,
чтобы система
была линейно независимой.
3.
Докажите, что если числа
,
то система векторов
линейно независима.
4.
Докажите, что векторы
линейно зависимы тогда и только тогда,
когда
.
5. Каким условием должны обладать скаляры и , чтобы векторы были линейно зависимы?
6.
Найдите вектор
из уравнения
,
где
.
7.
Дана система векторов:
Выражается ли линейно вектор
через
?
Является ли
линейной комбинацией векторов
?
8.
Система векторов
линейно независима. Можно ли утверждать,
что система векторов
тоже является линейно независимой?
9.
Найдите все максимальные линейно
независимые подсистемы следующей
системы векторов:
10.
Убедитесь, что система
линейно независима. Подберите наибольшее
возможное количество векторов
,
так, чтобы система
была линейно независимой.
11.
Система
линейно независима. Докажите, что система
также линейно независима.
12. Система линейно зависима. Докажите, что система линейно зависима.
13.
Докажите, что если система
линейно независима, то и система
также линейно независима.
14. Выясните являются ли данные системы векторов линейно зависимыми или линейно независимыми:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
15. Найдите ранги матриц:
-
а)
;б)
;в)
.
16.
Найдите все максимальные линейно
независимые подсистемы системы векторов:
.