Задача повышенной трудности

Пусть А и В – матрицы с действительными элементами и одинаковым количеством строк. Докажите, что

Тема 15. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Системой линейных уравнений над полем Р с переменными называется система

Матрица называется матрицей системы.

Матрица называется расширенной матрицей данной системы.

Две системы с одним и тем же количеством переменных называются равносильными, если множества решений их совпадают.

Элементарными преобразованиями системы называются следующие ее преобразования:

Р₁. Перестановка двух уравнений системы.

Р₂. Умножение всех членов некоторого уравнения на элемент поля Р, отличный от нуля.

Р₃. Прибавление к некоторому уравнению системы другого уравнения, умноженного на некоторый элемент поля Р.

Р₄. Исключение из системы уравнения (если система не состоит исключительно из одного этого уравнения).

Как известно, преобразования Р₁ – Р₄ преобразуют данную систему в систему ей равносильную.

Первый ненулевой коэффициент уравнения называется ведущим коэффициентом уравнения.

Система называется ступенчатой, если ведущий коэффициент следующего уравнения (начиная со второго) является коэффициентом при неизвестном с большим номером, чем ведущий коэффициент предыдущего уравнения.

Систему будем называть почти ступенчатой, если последнее уравнение в ней , а подсистема без этого последнего уравнения является ступенчатой.

Ясно, что почти ступенчатая система несовместна, то есть множество ее решений пусто.

Ступенчатые системы легко решаются, начиная с последнего уравнения к первому.

Любую систему линейных уравнений можно привести к ступенчатой или почти ступенчатой системе с помощью элементарных преобразований.

Так как преобразования Р₁ – Р₄ системы соответствуют преобразованиям П₁ – П₄ расширенной матрицы системы, то рациональным методом является приведение расширенной матрицы В системы к ступенчатой матрице В ^/.

Если получив матрицу В ^/, вернуться к системе линейных уравнений, для которой В ^/ будет являться расширенной матрицей системы, то мы и получим ту ступенчатую (или почти ступенчатую) систему, к которой сводится исходная система.

Практические задания

Решите следующие системы уравнений:

1. 2.

3.

4. 5.

6. Решите следующие системы линейных уравнений:

а) б) в)

г) д)

Самостоятельная работа

Решите системы уравнений:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7.

Задачи повышенной трудности

1. Решите систему уравнений:

если , , ,   попарно различные числа.

2. Решите систему уравнений:

Тема 16. Теорема КронекераКапелли

Теорема КронекераКапелли. Система m линейных уравнений с n переменными является совместной тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы совпадает с рангом матрицы системы. Система m линейных уравнений с n переменными имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы и ранг матрицы системы равны n (то есть количеству переменных в системе уравнений).