3. Однородныедифференциальныеуравнения

1. Функцияf(x,y)называетсяоднороднойфункциейсво-ихаргументовпорядкаn,еслиимеетместотождество

f(tx,ty)t^nf(x,y),

гдеt–параметр.При

n0

получаемоднороднуюфункциюну-

левогопорядка,длякоторойимеетместосоотношение

f(tx,ty)

f(x,y).

Например,функция

f(x,y)x^2xy

естьоднороднаяфункция

второгопорядка,таккак

f(tx,ty)(tx)^2(tx)(ty)t²⁽x^2xy)t^2f(x,y),

афункция

f(x,y)^4x9y

x7y

естьоднороднаяфункциянулево-

гопорядка,таккак

_{f(tx,ty)}4(tx)9(ty)_t(4x9y)_4x9y_

f(x,y).

tx7(ty)

t(x7y)

x7y

2. Дифференциальноеуравнениевида

у^

f(х,y)

называетсяоднородным,еслифункция

f(х,y)

естьоднород-

наяфункциянулевогопорядка.Еслидифференциальноеурав-нениезаписановвиде

P(х,у)dxQ(х,y)dy0,

тоононазываетсяоднородным,еслиобефункции

Р(х,у)и

16. (х,у)

порядка.

являютсяоднороднымифункциямиодногоитогоже

3. Однородноеуравнениерешаютспомощьювведениявместонеизвестнойфункцииу(х)новойфункцииu(х)следую-щимобразом:

u^yx

или

yux.

Врезультатетакойзаменыуравнениеприводитсякуравнениюсразделяющимисяпеременными.

4. Следуетзаметить,чтоеслиправаячастьдифференци-альногоуравненияможетбытьпредставленаввидефункцииот

^y

частного

^у,т.е.

х

f(x,y)_



_,тоэтоуравнениеявляетсяод-

x_

нородным.

4. Линейныедифференциальныеуравненияпервогопорядка.УравненияБернулли

1. Линейнымдифференциальнымуравнениемпервогопорядканазываетсяуравнение,линейноеотносительнонеиз-вестнойфункцииу(х)иеепроизводнойу,т.е.уравнениевида

у^р(х)уq(x),

гдер(х)иq(x)–непрерывныефункцииотх.

Если

q(x)0,тоуравнениеназываетсялинейнымодно-

роднымуравнением.

2. Методрешениялинейногоуравнения–методвариа-

циипроизвольнойпостоянной–заключаетсявследующем.

Сначаланаходятобщеерешениеоднородногоуравнения

у^р(х)у0,

котороеимеетвид

_{усе}_р(х)dx_.

Следуяметодувариациипроизвольнойпостоянной,общеерешениенеоднородногоуравненияследуетискатьввиде

ус(х)е^{р(х)dx,}гдес(х)–неизвестнаяпокафункцияотх.

Посленахожденияэтойфункцииобщеерешениеданного

уравнениястанетизвестным.

3. Общеерешениелинейногоуравненияможетбытьнайденодругимспособом.

Положим

уu(x)v(x),

гдеu(x)иv(x)–неизвестныепокафункции.Найдя

у^u^vuv^

иподставиввданноеуравнениенужныевыражения,будемиметь

u^vuv^p(x)uvq(x),

илипослепреобразований

u^vu(p(x)vv^)q(x).

Вкачествефункцииv(x)возьмемлюбоечастноерешениеурав-нения

v^p(x)v0,

вторуюфункциюu(x)найдем,решивуравнение

u^vq(x).

Найдяобефункцииu(x)иv(x),мынайдемиобщеерешениеуравнения

уu(x)v(x).

4. Дифференциальноеуравнениеможетоказатьсяли-нейнымотносительнофункциих(у)иеепроизводнойх.Такоеуравнениевыглядиттак:

х^р(у)хq(у).

5. УравнениеБернуллиимеетвид

у^p(x)уq(x)у^n, n0,n1.

Этоуравнениезаменойуравнению

_zy1n

можносвестиклинейному

z^

1n

p(x)zq(x).

Болееудобнымпрактическиявляетсяметодрешенияуравнения

спомощьюподстановкиБернулликлинейному.

yu(x)v(x)

безсведенияуравнения