Решение:

у^¹

х

у^х^2.

Вданномуравнениивторогопорядкаотсутствуетвявном

видесамафункцияу.Этоуравнениедопускаетпонижениепо-

рядка,длячегонадосделатьзаменууравнениеприметвид

у^z(x).Тогда

у^z^и

z^^1zх^2. (3)

х

Уравнение(3)оказываетсялинейнымуравнениемпервого

порядкаотносительнофункцииz(x)ирешаетсяследующимоб-разом:

zuv,

u^vuv^^uvx^2,

z^u^vuv^,

u^vu_v^^v_x,

v^^v0,

 

^x  ^x 2

dv_dx_{, }dv_{}dx_,

x

lnvlnx,

v x v x

v^1;

x

4

u^1x^2,

x

dux³dx, _du_x³dx,

u^x

4

c_1.

Общеерешениеуравнения(3)приметвид

1^x⁴

zuv ^

_{ x}3

c^

x

^c1.



4



_x₄ ^1

Вначалерешениябыласделаназамена

y^z.Следовательно,

3

y^^x

^c1.

4 x

Этоуравнениесразделяющимисяпеременными.Решаяего,по-

лучаем

4

_x3dy^

_c

^1dx,

x

 

 

³ 

₄

_dy_^x



^c1dx,

x





_x4

y c_1lnxc_2общеерешениеданногоуравнения.

16

Задача4.Найтичастноерешениеуравнения

у^4у^х^25х,

удовлетворяющееначальнымусловиям

у(0)1,

у^(0)0.

Решение:

Данноеуравнениеявляетсялинейнымдифференциальным

уравнениемвторогопорядкаспостояннымикоэффициентамис

правойчастьюспециальноговида

f(x)P_n(x),где

P_n(x)

многочленстепениn.Общеерешениетакогоуравненияскла-дываетсяизобщегорешенияоднородногоуравнения(праваячастьравнанулю)икакого-либочастногорешениянеоднород-ногоуравнения.

Решимсначалаоднородноеуравнение

у^4у^0.

Составляемхарактеристическоеуравнение

k^24k0,

корнямикоторогобудут

k_10

иk_24.

Соответственноэтимкорнямнаходимчастныерешения

y_1e

k₁x

e^ox1 и

y_2e

k_2x

_e-4x

иобщеерешение,котороепредставляетсобойлинейнуюком-бинациюнайденныхчастныхрешений:

y cy

cy

c1ce^4x.

o.o

11 22 1 2

Теперь надонайти частноерешение неоднородногоуравнения.

Пользуясьтаблицей,мыбудемискатьчастноерешениенеоднородногоуравненияввиде

^уч.н

(Ах^2ВхС)х,

таккакправаячастьf(x)уравненияпредставляетсобоймного-членвторойстепени,ачисло0являетсякорнемхарактеристи-ческогоуравненияскратностьюs=1.

НамостаетсянайтинеизвестныепокакоэффициентыА,В,С.Дляэтогонайдемпервуюивторуюпроизводныеоту_ч.ниподставимнайденныевыражениявданноенеоднородноеурав-нение:

^уч.н

Ах^3Вх^2Сх,

у^3Ах^22ВхС,

у^6Ах2В,

6Ах2В4(3Ах^22ВхС)х^25х,

12Ах^2(6А8В)х(2В4С)х^25х.

Изполученногоравенствадвухмногочленовследуетра-венствокоэффициентовприодинаковыхстепеняххвлевойиправойчастях:

_^12А1;

_6А8В5;

^_2В4С0.

Решениемсистемыявляются:

А^1,

12

В^9,

16

С^9.

32

Значит,частноерешениеимеетвид

^уч.н

^1х3⁹

12 16

х^2

^9х,

32

аобщеерешениеесть

^уо.н

^уо.о

^уч.н

с₁

се^4х¹

2

12

х^3⁹

16

х^2

^9х.

32

Найдемзначенияпостоянныхс_1ис₂.Дляэтогосначалапродифференцируемполученноеобщеерешение:

у^4се^4х^1х2^9х^9.

² 4 8 32

Теперьподставим

х0

ввыражениядляуиу:

у(0)с_1с_21,

9

у^(0)4с_2

32

Решимсистему:

0.

_^с₁^с₂^1,

^4с

^90.

Найденные

_

_с137

¹ 128

2

ис₂

32

⁹

128

подставимвобщеере-

1379е4х			1х39	х2	9
128 128		12 16			32

шениеиполучимчастноерешение:

у х.

Задача5.Найтиобщеерешениесистемылинейныхдиф-ференциальныхуравненийспостояннымикоэффициентамипу-темсведенияеекодномууравнениювторогопорядка:

^dx

^dt

^dy



dt

4x2y,

xy.