7. Нормальныесистемыдифференциальныхуравнений

1. Системадифференциальныхуравненийназываетсянормальной,есливлевойчастиуравненийстоятпроизводныепервогопорядка,аправыечастинесодержатпроизводных.Нормальнаясистемалинейныхдифференциальныхуравненийдлядвухфункцийх(t)иу(t)имеетвид

^dx

^dt

^dy

a₁₁xa_12y,

(7.1)



dt

a₂₁

xa_22y.

2. Систему(7.1)можнорешитьпутемсведенияеекод-номууравнениювторогопорядка.Дляэтогопродифференциру-емпервоеуравнениесистемыпопеременнойt:

2

dx_a

dx_a

dy_,

dt²

11. _dt

12. _dt

затемвместо

^dyподставимеговыражениеизвторогоуравне-

dt

ниясистемы.Вполученноеуравнение

2

dx_a

dx_a

(аха

у)0

dt²

11_dt

12 21 22

подставимвместоуеговыражениечерезхиуравнениясистемы

^dх изпервого

dt

у¹

_dx_a

x^. (7.2)



а_12dt

11^



Окончательно получаем дифференциальное уравнениевторогопорядкаотносительнофункциих(t):

х^(а_11а₂₂₎х^(а_11а_22а_12а₂₁₎х0.

Вторуюфункциюу(t)найдем,пользуясьуравнением(7.2).

Вопросыдлясамопроверки

1. Дайтеопределениядифференциальногоуравненияпер-вогопорядкаиегообщегоичастногорешения(интеграла).

СформулируйтезадачуКошидлядифференциальногоуравне-нияпервогопорядкаиукажитееегеометрическийсмысл.

2. Дайтегеометрическоеистолкованиедифференциально-гоуравненияпервогопорядка,выяснитегеометрическийсмысл

общегоичастногорешения.

3. Сформулируйтетеоремуосуществованиииединствен-

ностирешениядифференциальногоуравненияпервогопорядка.

4. Дайтеопределениедифференциальногоуравненияс

разделяющимисяпеременными.Изложитеметоднахожденияегообщегорешения.Приведитепримеры.

5. Дайтеопределениеоднородногодифференциального-уравненияпервогопорядка.Изложитеметоднахожденияего

общегорешения.Приведитепримеры.

6. Дайте определение линейного дифференциального

уравненияпервогопорядка.Изложитеметоднахожденияегообщегорешения.Приведитепримеры.

7. ДайтеопределениеуравненияБернулли.Изложитеме-тоднахожденияегообщегорешения.Приведитепримеры.

8. Чтоназываетсяособымрешениемдифференциальногоуравненияпервогопорядка?

9. Дайтеопределениядифференциальногоуравнениявто-рогопорядкаиегообщегоичастногорешения.Сформулируйте

теоремуосуществованиииединственностирешениядиффе-ренциальногоуравнениявторогопорядка.

10. Изложитеметодрешениядифференциальногоуравне-

ния

у^

f(x).Приведитепример.

11. Изложитеметодрешениядифференциальногоуравне-

ния

у^

f(x,y^).Приведитепример.

12. Изложитеметодрешениядифференциальногоуравне-

ния

у^

f(у,y^).Приведитепример.

13. Дайтеопределениелинейногодифференциальногоуравнениявторогопорядка(однородногоинеоднородного).

Сформулируйтеосновныесвойствачастныхрешенийлинейно-гооднородногодифференциальногоуравнения.

14. Выведитеформулуобщегорешениялинейногоодно-родногодифференциальногоуравнениявторогопорядкаспо-

стояннымикоэффициентами,еслихарактеристическоеуравне-ниеимеетдваразличныхдействительныхкорня.Приведите

пример.

15. Выведитеформулуобщегорешениялинейногоодно-

родногодифференциальногоуравнениявторогопорядкаспо-стояннымикоэффициентами,еслихарактеристическоеуравне-ниеимеетдваодинаковыхдействительныхкорня.Приведитепример.

16. Выведитеформулуобщегорешениялинейногоодно-родногодифференциальногоуравнениявторогопорядкаспо-стояннымикоэффициентами,еслихарактеристическоеуравне-ниеимееткомплексныекорни.Приведитепример.

17. Изложитеправилонахождениячастногорешенияли-нейногонеоднородногодифференциальногоуравненияспосто-яннымикоэффициентами,еслиегоправаячастьимеетвид

n

е^αхР(x),где

Р_n(x)

• многочленстепениn.

18. Изложитеправилонахождениячастногорешенияли-нейногонеоднородногодифференциальногоуравненияспосто-яннымикоэффициентами,еслиегоправаячастьимеетвид

е^αх(AcosβxBsinβx).

19. Чтоназываетсянормальнойсистемойдифференциаль-ныхуравненийпервогопорядка?

20. Изложитеметоднахожденияобщегорешениянор-

мальнойсистемыдифференциальныхуравненийпервогопо-рядкапутемсведениясистемыкодномудифференциальномууравнению.