3. Обратимые матрицы. Невырожденные матрицы. Невырожденные элементарные преобразования матриц. Матричные уравнения.

Определение 1. Матрица n-го порядка над полем Р называется единичной, если у нее на главной диагонали находятся единицы, а на остальных местах – нули, и обозначается Е_n, т.е. Е_n= .

Замечание 1. Пусть А - матрица n-го порядка над полем Р. Тогда АЕ_n= Е_nА=A

Определение 2. Пусть А - матрица n-го порядка над полем Р. Матрица A^-1 n-го порядка над P называется обратной к матрице А, если А A^-1= A^-1А=Е_n .

Матрица A называется обратимой, если для неё существует обратная матрица A^-1.

Определение 3. Невырожденными элементарными преобразованиями (НЭП) матрицы А над полем Р называются следующие

НЭП 1: Умножение всех элементов какой-нибудь строки матрицы А на скаляр Р, ≠0.

НЭП 2: Умножение всех элементов какой-нибудь строки матрицы А на скаляр Р и прибавление их к соответствующим элементам другой строки.

Определение 4. Матрица В называется эквивалентной матрице А, если В получена из А с помощью НЭП, и обозначается B∼А.

Определение 5. Элементарной матрицей n-го порядка над полем P называется матрица E_(i,j), полученная из E_n заменой элемента i-ой строки j-го столбца на P.

Лемма 1. 1) 1-му НЭП (умножению всех элементов i-ой строки матрицы А на скаляр Р, ≠0) соответствует умножение матрицы А слева на элементарную матрицу E_(i,i).

2) 2-му НЭП (умножению всех элементов j-ой строки матрицы А на скаляр Р и прибавлению их к соответствующим элементам i-ой строки) соответствует умножение матрицы А слева на элементарную матрицу E_(i,j), i  j.

Пример. Для матрицы А 3-го порядка:

E_(2,2)⋅А= ⋅ =

E_(2,3)⋅А= ⋅ =

Определение 6. Ступенчатой матрицей (матрицей ступенчатого вида) называется матрица А_mn такая, что в каждой последующей её строке первый ненулевой элемент (считая слева направо) находится правее, чем в предыдущей.

Пример. Матрицы ступенчатого вида , , Е_n= .

Определение 7. Рангом матрицы A называется число ненулевых строк в ступенчатой матрице B, эквивалентной матрице А. И обозначается r(A).

Из определения 7 следует

Алгоритм нахождения ранга матрицы А.

1. При помощи НЭП привести матрицу А к ступенчатому виду В, B∼А.

2. Подсчитать количество ненулевых строк в матрице В.

Определение 8. Матрица А n-го порядка называется невырожденной, если r(A)=n, то есть ее ранг совпадает с количеством строк. В противном случае (если r(A)<n) матрица А называется вырожденной.

Теорема 1 (критерий невырожденности матрицы). Пусть А – матрица n-го порядка над полем Р.

Матрица А невырождена при помощи НЭП А приводится к виду E_n.

Лемма 2. Пусть А и B – матрицы n-го порядка. Если матрица А вырождена, то и матрица С=АВ вырождена./

Теорема 2 (критерий обратимости матрицы). Пусть А – матрица n-го порядка над полем Р.

Матрица А обратима А невырождена.

Доказательство. I. Необходимость. Пусть А – обратимая матрица. Докажем, что матрица А невырождена. Допустим, что А – вырожденная матрица. Так как А обратима, то существует обратная ей матрица В: АВ=ВА=Е_n. Согласно лемме 2, из того, что матрица А вырождена следует, что матрица АВ вырождена, т.е. Е_n – вырожденная матрица. Это, по определению 8, означает, что r(E_n)<n. Но, поскольку E_n имеет ступенчатый вид, то по определению 7, ее ранг очевидно равен n. Противоречие. Следовательно, А – невырожденная матрица.

II. Достаточность. Пусть А – невырожденная матрица. Тогда по теореме 1 матрица А с помощью цепочки последовательных НЭП приводится к матрице Е_n. В силу леммы 1, существуют элементарные матрицы S₁,…,S_p, соответствующие этим преобразованиям, такие, что (S_p…(S₂(S₁A))...)=E_n  (S_p…S₂S₁)A=E_n. Пусть S_p⋅…⋅S₁=B  BA=E_n (1).

Допустим, что В – вырожденная матрица по лемме 2, ВА – вырожденная матрица  Е_n – вырожденная матрица r(E_n)<n. Противоречие. Следовательно, В – невырожденная матрица. По теореме 1, матрица В с помощью НЭП и приводится к матрице Е_n. Тогда, как и выше, существуют элементарные матрицы R₁,…,R_t, соответствующие этим преобразованиям, такие, что (R_t…(R₂(R₁B))...)=E_n существует матрица С= R₁⋅…⋅R_t, такая что СВ=Е_n (2)

Тогда C СЕ_n C(BA) =(CB)A E_n A A , т.е. C=A. Подставляя в (2), получим AB=E_n (3). Из (1) и (3) получаем АВ=ВА=Е_n В – обратная матрица для А, т.е В=А^-1 и A – обратимая матрица. Теорема доказана.

Замечание 2. Из доказательства теоремы 2 при выводе формулы (1) следует, что (S_p…S₂S₁)A=E_n (4)

Также получено, что матрица В=А^-1= S_p…S₂S₁. Заметим, что BЕ_n=B , т.е. (S_p…S₁)E_n=A^-1 (5).

Получаем, что если элементарные преобразования, соответствующие матрицам S_p,…,S₁, приводят матрицу А к матрице Е_n (см.(4)) , то эти же элементарные преобразования приводят матрицу Е_n к матрице А^-1 (см.(5)). Отсюда вытекает