10. Формула для вычисления обратной матрицы

Теорема 7. Пусть A= - матрица n-го порядка над полем P. Если определитель = 0, то существует А , причем А = , где А_ij - алгебраическое дополнение к элементу а_ij в матрице А, i= , j= .

Доказательство. Так как , то, по теореме 5, А – невырожденная матрица. Значит, по теореме 2, А – обратимая матрица и A^-1 существует.

Пусть B= = . Покажем, что В=А^-1, т.е. покажем, что АВ=ВА=Е_n. Действительно,

АВ= = ⋅ =

= = E_n, т.е. АВ=Е_n.

Аналогично доказывается, что ВА=Е_n . Таким образом, В=А^-1. Теорема доказана.

11. Формулы Крамера

Теорема 8. Пусть (1) - система n линейных уравнений с n неизвестными над полем P, А= - основная матрица системы (1), = . Если , то система (1) имеет единственное решение: , , …, , где - определитель, полученный из заменой i-го столбца на столбец свободных членов, i= , т.е.

= , = . , … , = .

Доказательство. Пусть Х= , В= . Тогда система (1) равносильна матричному уравнению АХ=В (2). Действительно,

.

Следовательно, чтобы решить систему (1), достаточно решить уравнение (2).

Так как 0, то по теореме 5 матрица А невырождена и, по теореме 2, А – обратимая матрица существует А^-1 уравнение (2) имеет единственное решение X=A^-1B =

Теорема доказана.

Замечание. Если =0, то возможны 2 случая:

1. Если =0, i= , то система (1) имеет бесконечное число решений

2. Если найдется , то система (1) не имеет решений.

19