6. Разложение определителя по ряду. Алгебраическое дополнение и минор к элементу определителя. Связь алгебраических дополнений с минорами.

Пусть Δ = = .

Определение 1. Если в определителе Δ сгруппировать все слагаемые, содержащие элемент , и сгруппировав, вынести элемент за скобки, то выражение, полученное в скобках, обозначается A_ij и называется алгебраическим дополнением к элементу в определителе Δ, i = , j = .

Так как все элементы i-той строки определителя Δ входят в одно и только одно из слагаемых, то Δ=a_i1 A_i1+ a_i2 A_i2+ _… + a_in A_in (1). Равенство (1) называется разложением определителя Δ по i-той строке.

Аналогично: Δ =a_1j A_1j + a_2jA_2j+ _… + a_nj A_nj (2) - разложение определителя Δ по j-тому столбцу, j = .

Строки и столбцы определителя Δ называются его рядами. Таким образом, (1) и (2) – разложения Δ по ряду.

Определение 2. Если в определителе Δ вычеркнуть i-тую строку и j-тый столбец, то на их пересечении получится элемент a_ij, а остальные элементы образуют определитель (n-1)-го порядка, который обозначается M_ij и называется минором к элементу a_ij в определителе Δ, i = , j = .

Например:

Пусть Δ = . Тогда M₂₃ = и т.д.

Теорема 4. ( о связи алгебраических дополнений с минорами) Пусть Δ - определитель n-го порядка над полем P, A_ij и M_ij – алгебраическое дополнение и минор к элементу a_ij в Δ соответственно. Тогда

A_ij=(-1)^{i+ j}M_ij , i = , j = .

Доказательство. Пусть Δ₁ - сумма всех тех слагаемых из Δ, которые содержат элемент a_ij, т.е. Δ₁= = (3). Вторые индексы в (3) образуют перестановку I₁, полученную из перестановки I удалением символа j с i-того места = a_ij(-1)^i+jM_ij, т.е. Δ₁ = a_ij(-1)^i+jM_ij (4). С другой стороны Δ₁ a_ijA_ij (5). Из (4) и (5) следует, что a_ij(-1)^i+jM_ij = a_ijA_ij. Тогда A_ij = (-1)^i+jM_ij. Теорема доказана.

7. Свойства определителей.

Свойство 1. Если определитель  содержит нулевой ряд (строку или столбец), то он равен нулю.

Доказательство. Разложим определитель по нулевому ряду (пусть, например, это i-я строка): Δ a_i1 A_i1+ a_i2 A_i2+ _… + a_in A_in= 0 A_i1+ 0 A_i2+ _… + 0A_in=0. Свойство доказано.

Свойство 2. Определитель треугольной матрицы, все элементы которой ниже (выше) главной диагонали равны 0, равен произведению элементов ее главной диагонали, т.е. =a₁₁⋅a₂₂⋅…⋅a_nn

Доказательство. Проведем индукцию по порядку n определителя.

1. Проверим при n=2. Из п.5 следует, что Δ = = =a₁₁⋅a₂₂, т.е утверждение верно при n=2.

2. Предположим, что при n=k утверждение верно, т.е определитель треугольной матрицы k- го порядка равен произведению ее диагональных элементов: =a₁₁⋅a₂₂⋅…⋅a_kk

3. Докажем, что при n=k+1 справедливо =a₁₁⋅a₂₂⋅…⋅a_(k+1)(k+1)

Разложим определитель  по (k+1)-й строке: a_(k+1)1 A_(k+1)1+ a_(k+1)2 A_(k+1)2+ _… + a_(k+1)(k+1)A_(k+1)(k+1)=

= 0 A_(k+1)1+ 0 A_(k+1)2+ _… + a_(k+1)(k+1)A_(k+1)(k+1)= a_(k+1)(k+1)A_(k+1)(k+1)

a_(k+1)(k+1)⋅(-1)^(k+1)+(k+1) M_(k+1)(k+1)= a_(k+1)(k+1)⋅(-1)^2(k+1)

= a_(k+1)(k+1)⋅(a₁₁⋅a₂₂⋅…⋅a_kk)= a₁₁⋅a₂₂⋅…⋅a_(k+1)(k+1). Значит, утверждение верно при n=k+1. Свойство доказано.

Свойство 3. При применении к матрице 1-го НЭП (умножения какой-либо строки на скаляр ) , её определитель умножится на :

=⋅ .

Иначе говоря, общий множитель  элементов i-ой строки можно вынести за знак определителя.

Свойство 4. При применении к матрице 2-го НЭП её определитель не изменяется.

Свойство 5. При перестановке двух различных параллельных рядов матрицы (двух строк или двух столбцов) её определитель меняет лишь знак.

Свойство 6. Если матрица содержит два одинаковых параллельных ряда (две одинаковых строки или два одинаковых столбца), её определитель равен 0.

Доказательство. Обозначим исходный определитель через  и рассмотрим определитель ₁, полученный перестановкой одинаковых параллельных рядов в . С одной стороны, по свойству 5, ₁=-. Но, поскольку переставленные ряды были одинаковы, то ₁=. Складывая почленно полученные равенства, получим 2₁=0, откуда ₁=0 и =0. Что и требовалось доказать.

Свойство 7. Если все элементы какого-либо ряда определителя (например, i-ой строки) являются суммой двух слагаемых a_ij=a_ij+a_ij, то =+, где в i-ой строке  находятся элементы a_ij, в i-ой строке  находятся элементы a_ij, а остальные строки  и  совпадают с соответствующими строками в :

= +

Свойство 8. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется, т.е. |A^T|=|A|.

Свойство 9. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов параллельного ряда равна 0, т е. при ij справедливо

a_i1 A_j1+ a_i2 A_j2+ _… + a_in A_jn=0;

a_1i A_1j + a_2i A_2j+ _… + a_ni A_nj=0.