8. Критерий вырожденности квадратной матрицы.

Теорема 5. Квадратная матрица А является вырожденной |A| = 0.

Доказательство. 1.Необходимость. Пусть А – вырожденная матрица n- го порядка. По определению 8, п.3, r(A)<n. Значит при приведении А к ступенчатому виду А₁ с помощью НЭП количество ненулевых строк в А₁ будет меньше n, т.е. А₁ имеет нулевую строку. По свойству 4 определителей, при применении НЭП 2 определитель матрицы не изменяется, а по свойству 3, при применении НЭП 1 умножается на скаляр 0. Таким образом, после применения всех преобразований, |А| и |А₁| отличаются лишь некоторым ненулевым множителем , т.е. |А₁|=⋅|А|, 0. Но поскольку А₁ имеет нулевую строку, то по свойству 1 определителей, |А₁|=0  ⋅|А|=0  |А|=0. Что и требовалось доказать.

2. Достаточность. Пусть Δ=|A|=0. Допустим, что А – невырожденная матрица. Тогда, по теореме 1, п.3, с помощью НЭП 1 и НЭП 2 матрица А приводится к единичной матрице Е_n. Так как при НЭП 1 определитель матрицы умножается на α, а при НЭП 2 определитель матрицы не изменяется, то, аналогично рассуждениям выше, |E_n|=⋅|А|, 0. Тогда из |A|=0 следует, что |E_n|=0. Противоречие. Следовательно, A – вырожденная матрица. Теорема доказана.

9. Определитель произведения матриц

Теорема 6. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей множителей.

Доказательство. а) Пусть А – вырожденная матрица. Тогда по теореме 19 |A|=0. Далее, так как матрица А вырождена, то по утверждению 2, АВ – вырожденная матрица => |AB|=0. Таким образом, |AB|=0=0∙|B|=|A|∙|B|.

б) Пусть А – невырожденная матрица. Тогда с помощью элементарных преобразований (1) и (2) матрица А приводится к матрице Е_n. Согласно леммам 1 и 2, это равносильно тому, что матрица А приводится к матрице Е_n с помощью умножения слева на элементарные матрицы, т.е. существуют элементарные матрицы S₁,…,S_p такие, что (S_p∙…∙S₁)A=E_n => A^-1=S_p∙…∙S₁. Рассмотрим (А^-1)^-1:

А=(A^-1)^-1=(S_p∙…∙S₁)^-1=S₁^-1∙S₂^-1∙…∙S_p^-1. (Действительно, (C₁C₂)^-1=C₂^-1C₁^-1, так как (С₁С₂)∙(С₂^-1С₁^-1)=С₁С₂∙С₂^-1С₁^-1=Е).

Таким образом, A=S₁^-1∙…∙S_p^-1 => AB=S₁^-1∙…∙S_p^-1B (1).

В силу (1) докажем, что |S₁^-1∙…∙S_p^-1∙B|=|S₁^-1∙…∙S_p^-1|∙|B|. Доказательство проведём методом математической индукции по параметру p.

1) Проверим, что утверждение верно при р=1, т.е. проверим, что |S₁^-1B|=|S₁^-1|∙|B|.

Предварительно докажем, что если S – элементарная матрица, то S^-1 – также элементарная матрица. Пусть матрица S имеет вид Е_α(i,i) (2), т.е. . Тогда = . Действительно, S∙S^-1= =Е_n.

Пусть матрица S имеет вид Е_α(i,j), i j (3). Тогда нетрудно проверить, что S^-1= . Таким образом, если S – элементарная матрица, то S^-1 – также элементарная матрица.

Тогда если S₁^-1 – матрица типа (2), то по свойству 3 определителей получаем |AB|=|S₁^-1∙B|=α∙|B|=|S₁^-1|∙|B|=|A|∙|B|. Если S₁^-1 – матрица типа (3), то по свойству 6 определителей имеем |AB|=|S₁^-1B|=|B|=1∙|B|=|S₁^-1|∙|B|=|A|∙|B|. Следовательно, при р=1 утверждение верно.

2) Предположим, что утверждение верно для числа множителей, меньшего р.

3) Докажем, что утверждение верно для р множителей.

Из (1) следует, что |AB|=|S₁^-1∙…∙S_p^-1∙B|=|(S₁^-1∙…∙S_p-1^-1)∙(S_p^-1∙B)|. Пусть S_p^-1∙B=B₁. Тогда |AB|=|S₁^-1∙…∙S_p-1^-1∙B₁| |S₁^-1∙…∙S_p-1^-1|∙|B|=|S₁^-1∙…∙S_p-1^-1|∙|S_p^-1∙B| |S₁^-1∙…∙S_p-1^-1|∙|S_p^-1|∙|B| |S₁^-1∙…∙S_p-1^-1∙S_p^-1|∙|B|=|A|∙|B|. Следовательно, утверждение верно для р.

Из 1)-3) по методу математической индукции утверждение верно ℕ.