История формирования элементарных математических представлений

Даже совершенно новые, на первый взгляд, пред­ставления, понятия, оригинальные идеи в различных сферах человеческой деятельности имеют свою исто­рию. В специальной литературе их развитие прослежи­вается от возникновения до наших дней во взаимосвязи с другими понятиями, идеями, теориями.

Сходство процессов развития знаний в филогенезе и онтогенезе ребенка отмечали многие исследователи (Л. С. Выготский, Ж. Пиаже, И. М. Сеченов и др.). Ин­тересны в этом отношении историко-математические сведения, которые позволяют проследить зависимость развития математики от потребностей человеческого общества, ее взаимозависимость со смежными науками и техникой, их диалектическую взаимосвязь. Так, ана­лизируя литературные источники, можно выявить влия­ние уровня развития производительных сил на содержа­ние и форму математических наук и обратное воздействие математики на механику, физику, астроно­мию и технические дисциплины.

В современных работах по истории математики, психологии, педагогики, методики обучения математике достаточно полно разработан историко-генетический подход к развитию тех или иных представлений и поня­тий у детей дошкольного возраста. И все же нам пред­ставляется необходимым остановиться на развитии ма­тематической мысли в историческом аспекте, выявив общее и различное в формировании математических представлений в ходе исторического развития человече­ства. Этот экскурс в историю поможет студентам и практическим работникам более полно представить себе тот путь, который проходит современный ребенок, ов­ладевая основами математики, обогатит логику по­строения педагогической работы по формированию элементарных математических представлений у детей с интеллектуальной недостаточностью.

За частной проблемой обучения основам математи­ки просматривается глобальная философская проблема общности людей, имеющих общие «истоки» во всем, в том числе и в математическом развитии. В этом смысле математика может быть образно названа «международ­ным» языком общения, так как даже на элементарном уровне коммуникации наиболее доступными знаками, символами для общения оказываются «пальцевый счет», показ цифр, времени на часах, ориентировка на различ­ные геометрические фигуры и т. п. Эти «эталоны» по­нятны и на невербальном уровне общения.

В. М. Тихомиров обращает внимание на то, что ма­тематика стала неотъемлемой частью человеческой культуры, то есть «участвует в формировании духовно­го мира человечества, равно как и искусство, и потому каждому человеку полезно знать некоторые фрагменты истории этой науки, имена ее творцов, сущность их вклада в нее, ход научной эволюции, преодоление оши­бок» [Математика в образовании и воспитании / Сост. В.Б. Филиппов. – М.: ФАЗИС, 2000. – С. 168].

В современной методике формирования элементар­ных математических представлений у детей дошкольно­го возраста используется генетический принцип разви­тия, который базируется на изучении развития математики начиная с древних времен.

Из истории происхождения числа известно, что умение устанавливать количественные отношения раз­личных объектов с помощью числа возникло на основе опыта. В филогенезе необходимость сравнивать множе­ства появилась раньше, чем число и счет. Еще не владея счетом, люди уже сравнивали различные множества, со­относя их элементы один с одним.

Практически сопоставляя элементы одного множе­ства с элементами другого, можно, не зная числа, опре­делить, эквивалентны или неэквивалентны эти множе­ства, узнать, какое из них больше, а какое меньше. Таким образом, формирование понимания отношений «больше», «меньше», «равно» возможно в дочисловой период. Изучение развития числа в филогенезе под­тверждает мысль о том, что понятие числа сформирова­лось в сознании человека значительно позднее на основе многочисленных практических действий и операций с множествами. Этот весьма важный факт необходимо учитывать, чтобы осмыслить пути формирования перво­начальных математических понятий у маленьких детей.

Известно, что самые древние математические тек­сты, дошедшие до нас, были написаны около четырех тысяч лет назад. Это папирусы из Древнего Египта и таблички из глины, применявшиеся в Древнем Вавило­не. По ним мы можем судить об уровне математических знаний двух древнейших цивилизаций. В египетских папирусах содержатся задачи и способы их решения, причем действия выполняются с конкретными числами. Задачи носят практический характер. Египтянам были известны правила нахождения площадей треугольника и круга (для числа п — «пи» — брали приближенное зна­чение, равное 3,14), объемов некоторых геометрических тел: куба, параллелепипеда, цилиндра. Встречаются за­дачи на арифметическую и геометрическую профессии. Доказательства отсутствуют. Интересным, на наш взгляд, является тот факт, что в Египте происхождение языка и имен людей было связано с богом Тотом. Ему приписывалось устроение всей интеллектуальной жиз ни, в том числе изобретение счета и создание первой» календаря. Египтяне считали, что бог Тот «расчленил» время на годы и месяцы. Таким образом, единое божество олицетворялось с различными сферами элементарной научной мысли.

На высоком уровне развития находилась математика в Древнем Вавилоне. На глиняных табличках «записа­ны» по существу алгебраические задачи, но сформули­рованы они словами с использованием конкретных чи­сел и с помощью геометрического языка, то есть без формул. Доказательства, как и в египетской математике, отсутствуют. В то время математика еще не была дедук­тивной наукой.

Начало формирования дедукции в математике было положено в Древней Греции около VII века до н.э. С этого времени математические утверждения доказыва­лись, исходя из других утверждений или аксиом.

Древние греки, математическая культура которых стала фундаментом современной математики, считали себя учениками египтян. Еще Геродот утверждал, что греки заимствовали свои первые геометрические позна­ния у египтян.

Можно полагать, что и на развитие математики в Древней Руси благотворное влияние оказала античная наука. Например, в «Стоглаве», сборнике церковных постановлений 1551 года, говорится, что в древнерус­ской школе учили «грамоте, и писати, и пети, и чести». Слово «чести» исследователи истолковывают по-разному: «читать», «считать» (Р. А. Симонов).

В работах Б. Л. Ван дер Вардена, Э. Я. Кольмана отмечается, что в ранний период своего развития мате­матика не разделялась на отдельные дисциплины. Сис­тема математических знаний не была еще столь раз­ветвленной и дифференцированной, как в настоящее время, что весьма характерно для начальных этапов развития систем вообще. Арифметика, алгебра и геометрия и античной математике как бы слиты воедино. Так, в Древнем Вавилоне алгебраические задачи формулиро­вались на языке геометрии; в Греции в школе Пифагора свойства чисел изучались с помощью геометрических фигур, а правила решения древнеегипетских задач на и 1мерение площадей и объемов мы и сегодня выражаем алгебраическими формулами. Слабая дифференциация математических знаний, характерная для начального папа развития математики, находит отражение в раз­личных педагогических системах. Например, в педаго­гических системах М. Монтессори, вальдорфской шко­лы можно проследить взаимосвязь арифметики, алгебры и геометрии в процессе математической подготовки де­тей на начальных этапах, то есть в дошкольном и млад­шем школьном возрасте.

В течение длительного времени значительные изме­нения происходили и в содержании математических дисциплин, и в положении математики в ряду других наук. Позднеантичный политический деятель, писатель и педагог Кассиодор говорил о том, что математика, ко­торую мы можем назвать теоретическим предметом, — по наука, изучающая абстрактное количество. В свою очередь, абстрактное количество это то, что мы рас­сматриваем лишь умозрительно, отделяя в уме от мате­рии и других случайных явлений. Математика, по мне­нию Кассиодора, включает в себя следующие дисциплины: арифметику, музыку, геометрию и астро­номию. «Арифметика — наука о числовом количестве в себе. Музыка — наука, рассматривающая числа в отно­шении к звукам. Геометрия — наука о неизменных ве­личинах и числах. Астрономия — наука о небесных те­лах во всех формах, изучающая обычное положение звезд по отношению друг к другу и к Земле...» [Математика в образовании и воспитании / Сост. В.Б. Филиппов. – М.: ФАЗИС, 2000. – С. 12].

Любопытно посмотреть, как выглядит средневеко­вая система математических знаний (с арифметикой на первом месте) с точки зрения современной иерархии шкал измерения. В работах Б. Д. Беликова, М. Я. Выгод­ского, Р. А. Симонова отмечается, что только после ос­воения счета человек оказывался способным приступить к построению пропорциональных шкал для измерения длин, объемов, весов и т. д.

Как отмечает Б. Д. Беликов, в соответствии с прак­тической математикой шло историческое развитие ма­тематической мысли. Он предполагает, что на ранних этапах становления математики наглядность и утили­тарность должны были служить существенными стиму­лами и одновременно селектирующими фильтрами по отношению к разработке тех или иных направлений в этой науке.

В трудах В. Вундта отмечается, что в древности по­нятия философии и науки, именно теоретической, выте­кающей «из чистого стремления к знанию», вполне сов­падали. Ученый, исследуя труды Платона, выделяет то, что мыслитель называет приобретением знания не только философию, но и в ряде случаев геометрию. В. Вундт обращает внимание на тот факт, что научные исследования все более спе­циализировались, что, в свою очередь, вело к большей дифференциации в различных областях наук.

По мнению Д. Б. Беликова, М. Я. Выгодского, А. Н. Колмогорова, А. А. Свечникова и других исследо­вателей истории математики, арифметика натуральных чисел, будучи самой простой, жесткой и тем не менее весьма эффективной моделью определенных отношений между множествами объектов действительности, оказа­лась самой доступной и перспективной базой для разви­тия математики.

Начальные элементы математических знаний, в ча­стности понятие натурального числа, складывались на протяжении длительного периода человеческой исто­рии, о котором сохранились лишь очень немногие све­дения. На основе данных археологии, этнографии, срав­нительного языкознания и истории науки специалистам до настоящего времени приходится по крупицам вос­создавать исторические ситуации, приведшие к появле­нию натуральных чисел.

Арифметические представления (о нумерации, вы­числительных операциях) в той или иной степени отра­зились в сохранившихся памятниках письменной и ма­тематической культуры.

В математических папирусах нередко появляются вопросы геометрического характера, имеющие подчас значительный исторический интерес. Тем не менее это всегда задачи на вычисление, то есть в их основе лежит арифметическое решение. Как отмечают Б. В. Болгар­ский, Б. Л. Ван дер Варден, А. А. Свечников и другие исследователи, в папирусах отсутствует тенденция к выделению геометрических знаний в самостоятельную область науки. В процессе формирования элементарных математических представлений у детей младшего до­школьного возраста наблюдается та же картина.

Числовые знаки, применявшиеся в иероглифическом письме, имели вид рисунков. Некоторые из них сохраня­ли внешнее сходство с конкретными предметами. Такая характерная особенность числовых знаков используется для первоначального знакомства детей со знаками. В этом случае активно «работают» тактильные и зритель­ные представления детей. Наиболее известный пример — стихотворение С. Я. Маршака «Веселый счет».

Для единицы десятичной системы счисления упот­реблялся знак «вертикальная черта». Как и во многих других системах, этот знак произошел от примитивного обозначения чисел зарубками. Интересный пример иг­ры, основанной на счете по зарубкам, приводит А. Н. Фролова. Среди подвижных игр народов Чукотки до сих пор есть игра «Счет по зарубкам». Она уходит корнями в глубокое прошлое чукотского народа. Вот как описывает автор-исследователь эту игру. «Чукчи, кочующие в полосе лесотундры, иногда играли в мета­ние аркана на деревянный чурбан, подвешенный к дере­ву. Участвовали два человека или две команды по два-три человека. Каждый игрок должен был набросить ар­кан на чурбан определенное количество раз. Победите­лем считался тот, кто первым набросит аркан, сопрово­ждая каждое попадание своеобразным подсчетом. При счете каждый удачный бросок считали за единицу; в счете изображали жизнь оленевода: убой оленя, охоту на оленя, ловлю оленя. У каждого соревнующегося име­ется аркан. Наугад ведущий выбирал разложенные в ряд дощечки с зарубками. На одной дощечке, например, 6 зарубок, на другой — 10, на третьей — 20. Сколько за­рубок, таков и счет. Побеждает та команда, которая сде­лала удачные броски, не ошиблась в счете, обозначаю­щем движение вперед и обратно...».

Этнографические данные показывают, что прими­тивный счет всегда является «инструментальным», и в качестве природного инструмента основная роль при­надлежит пальцам руки. Отсюда, как известно, берет начало десятичная система счисления; отсюда же у раз­личных народов возникают и зачаточные формы пяти­ричной системы (одна рука) и двадцатиричной системы (пальцы рук и ног). Многие народы использовали в ка­честве инструмента счета руки и на более высоких сту­пенях развития. Например, греки сохраняли счет на пальцах очень долгое время. Для детей дошкольного возраста, особенно на начальном этапе ознакомления со счетом, характерен именно пальцевый счет. Некоторые из них сохраняют его и в начальный период обучения в школе.

Анализируя такой показатель оценки действия, как «мера овладения», П. Я. Гальперин обращал внимание на то, что усвоение действия — «это не просто задалб­ливание в той форме, в какой оно вначале и разъясняет­ся и выполняется. А это непрерывное изменение форм самого действия. Нельзя переходить к следующей, бо­лее высокой форме, пока предыдущая не освоена в до­статочной степени». В качестве примера П. Я. Гальперин приводит предметный счет, когда ребе­нок может считать только предметы. При невозможно­сти пересчитывать сами предметы, он начинает считать на пальцах. Ученый говорит о том, что пальцы — это великолепный материал, это, собственно, русские сче­ты: имеется десяток, в нем четко отличается одна пятер­ка от другой. П. Я. Гальперин утверждает, что на паль­цах очень хорошо считать, и ребенок, привыкая к этому способу счета, начинает пересчитывать все, что можно: пятна на доске, на парте, на стене. Однако задержка на ранних и вначале необходимых формах счета становит­ся причиной отставания в развитии математических представлений. Таким образом, промежуточным фор­мам действия (счета), по мнению ученого, не следует уделять очень много внимания. «Нужно их доводить до определенной меры: ни больше ни меньше! Иначе вы не сможете перейти к следующей форме действия».

То же явление можно наблюдать и в развитии мате­матических представлений в филогенезе. Перефразируя слова П. Я. Гальперина, можно сказать, что человечест­во, дойдя до определенной меры в развитии пальцевого счета, перешло к числу, а затем и к действиям с ними.

Итак, числа возникли из потребности счета и изме­рения и прошли длительный путь исторического разви тия. Как утверждают ученые, исследовавшие математи­ческие понятия, было время, когда люди не умели счи­тать. Чтобы сравнить конечные множества, устанавли­валось взаимно однозначное соответствие между ними или между одним из множеств и подмножеством друго­го множества, то есть на этом этапе человек восприни­мал численность предметов без их пересчета. Например, о численности группы из двух предметов он мог гово­рить: «столько же, сколько рук у человека»; о множест­ве из пяти предметов — «столько же, сколько пальцев на руке». При таком способе сравниваемые множества должны были быть одновременно обозримы. Этот спо­соб обозначения числа до сих пор встречается у ту­земцев.

В процессе длительного периода развития человек перешел к следующему этапу обозначения натуральных чисел. Для сравнения множеств стали применять мно­жества-посредники: мелкие камешки, раковины, паль­цы. Эти множества-посредники уже представляли собой зачатки понятия натурального числа, хотя число еще не отделялось от сосчитанных предметов: речь шла, на­пример, о пяти камешках, пяти пальцах, а не о числе «пять» вообще. Названия множеств-посредников стали использовать для определения численности множеств, которые с ними сравнивались. Так, у некоторых племен численность множества, состоящего из пяти элементов, обозначалась словом «рука», а численность множества из 20 предметов —- словами «весь человек».

Такой «инструмент», как рука, не мог длительно хранить результат счета, но зато всегда был «в наличии» и отличался большой подвижностью. Бедность языка древнего человека восполняли жесты, и числа могли обозначаться с помощью пальцев.

М. Я. Выгодский приводит пример того, как наш со­временник прибегает к показу чисел на пальцах, когда объясняется с человеком, говорящим на другом языке. Дети младшего дошкольного возраста часто «называют» с кой возраст не словами-числительными, а показывая соответствующее количество пальцев. При этом можно наблюдать, что ребенок не знает названия числительного, т.е. правильно обозначает его с помощью пальцев, то есть соотносит количество пальцев с количеством своих ист. В проведенном нами исследовании дети-до­школьники с нормальным интеллектуальным развитием начиная с трех-четырех лет безошибочно показывали спой возраст на пальцах, хотя при назывании числи­тельных некоторые из них и допускали ошибки.

Только после того как человек научился опериро­вать множествами-посредниками, установил то общее, что существует, например между пятью пальцами и пя­тью яблоками, то есть когда произошло отвлечение от природы элементов множеств-посредников, возникло представление о натуральном числе. На этом этапе при счете, например, яблок, проговаривались не два слова «одно яблоко», «два яблока» и т. д., а одно: «один», «два» и т. д. Наступил важнейший этап в развитии по­нятия числа.

Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их, а также выполнять действия с ними. Как свидетельствуют различные исследования, натуральный ряд чисел возник не сразу, история его формирования длительная. Запас чисел, которые люди использовали, ведя счет, увеличивался постепенно. По­степенно сложилось и представление о бесконечности множества натуральных чисел. По свидетельству А. А. Свечникова, в работе «Псаммит» древнегреческий математик Архимед (III век до н. э.) показал, что ряд чисел может быть продолжен бесконечно, и описал способ образования и словесного обозначения сколь угодно больших чисел.

Числовые записи встречаются в текстах рукописей, в различных переписках в виде единичных цифровых пометок, не связанных с текстом, а также в надписях на камнях, стенах сооружений, на ремесленных изделиях и предметах художественного творчества, включая про­изведения штемпельной техники, например печати. Значительно расширился круг источников, свидетельст­вующих об использовании арифметических представле­ний в быту человека Древней Руси после находки бере­стяных грамот в Новгороде. На основании изучения этой находки установлено, что арифметические представ­ления тесно связаны с денежным счетом: в большинстве найденных берестяных грамот числа используются в свя­зи с торговлей, хозяйственной деятельностью или бы­том людей. В грамотах в основном применялись коли­чественные натуральные числа, хотя изредка встречались и порядковые. Анализ древних источников показал, что в те времена новгородцы имели дело с не­большими натуральными числами, что объясняется не­значительной хозяйственной деятельностью и низкой производительностью труда.

В литературе по истории русской математики древ­ний период справедливо рассматривается как почва и основа дальнейшего развития математической мысли. Видимо, можно не сомневаться, что уже в быту челове­ка средневековья на первом месте среди математиче­ских представлений находились числовые обозначения и счет. Они служили базой формирования математиче­ских идей, связанных с измерением длин, объемов и т. д. Такое заключение соответствует нашим представ­лениями об историческом развитии математической мысли.

Для воссоздания облика средневековой математиче­ской культуры нужно учитывать и ее «отмершие» эле­менты, тогда суждения о древних математических представлениях, по словам Б. Д. Беликова, станут полнее и точнее. Например, правомерно ли говорить о наличии «цифрового языка» на Руси, прежде чем здесь появилась славянская письменность?

Исследователи истории математики (Б. Д. Беликов, Э. Г. Бэлл, А. А. Вайман и др.) высказывают предполо­жения о принципиальной возможности первоначального возникновения цифр, а лишь затем других знаков, то есть фонетического письма. Так, особенности прошумерского способа выражения числа и меры позволяют говорить о существовании чисто числового этапа в развитии прошумерской письменности, когда документы хозяйственной отчетности состояли только из числовых и метрологических записей, скреплялись оттисками ци­линдрических печатей.

Итак, в аналитических исследованиях подчеркива­ется непреходящее значение того момента, когда в ис­тории человечества были изобретены числа и их меры. Так, И. М. Сеченов связывал прогресс внечувственного мышления именно с изобретением числа и меры, когда количественные отношения между вещами получили полную однозначную определенность.

Таким образом, археологические, этнографические и другие данные, несмотря на их фрагментарный харак­тер, позволяют проследить этапы возникновения и раз­вития математических знаний. К. А. Рыбников выделяет следующие из них [Рыбников К.А. История математики. – М.: Изд-во МГУ, 1994. – С. 7-8]:

Первый этап. Восприятие человеком свойств чис­ленности, количественности при оперировании множе­ствами конкретных предметов. Множества предметов характеризуются при этом лишь с точки зрения их цело­стности, то есть присутствия всех составляющих их элементов. Подобный способ счета принято называть чувственным счетом. Впоследствии стали применяться термины, выражающие различия между одним, двумя и многими предметами. В «Энциклопедии элементарной математики» приводятся примеры, когда за определен­ными количествами объектов, с которыми люди имели дело в повседневной жизни, закреплялись особые на­звания: «три человека», «три лодки», — однако сам аб­страктный термин «три» еще не вошел в употребление.

Второй этап. Сравнение множеств путем поэле­ментного сопоставления друг с другом в процессе обме­на продуктами производства. Вывод о неравночисленности множеств привел к возникновению понятий «больше», «меньше», «равно».

Третий этап. Появление стандартных совокупно­стей или эталонных множеств. С этой целью использо­вались пальцы одной или обеих рук, что было весьма удобно при осуществлении торговых операций, а также наборы палочек, камешков, раковин, узелков и других предметов. Применение в качестве эталона пальцев рук и ног привело в дальнейшем к возникновению сис­тем счисления с основанием 5, 10, 20. Например, из 307 систем счисления коренных народов Америки 146 были десятичными, 106 — пятиричными и пятирично-десятичными, 55-—двадцатиричными и пятирично-двадцатиричными. Система счисления с основанием 20 использовалась также майя в Мексике и кельтами в Европе.

Четвертый этап. Введение названий чисел и скла­дывание общего представления о натуральном числе. В ходе формирования понятия о числе большие числа ста­ли образовываться путем сложения меньших. Д. Я. Стройк приводит примеры названий первых нату­ральных чисел на языке австралийского племени реки Муррей: 1 - энза, 2 = петчевал, 3 = петчевал-энза, 4 = петчевал-петчевал. Здесь, очевидно, числа 3 и 4 представлены в виде суммы чисел 2 и 1, а также 2 и 2 соответственно.

В Х-ХШ веках в Европе и в странах Востока были распространены различные наглядно-механические приспособления для выполнения арифметических под­счетов. Так, с совершенствованием искусства счета по­являются вычислительные приборы, помогающие про­водить арифметические операции с числами. Одним из таких приборов стал абак — специальная счетная доска, разделенная на полосы, символизирующие разряды чи­сел. Такого рода приспособления, состоящие из вычис­лительного поля и счетных элементов, получили общее название «абак» {стол, счетная доска). Существуют и другие варианты значения этого слова, например, «абак» — неговорящий. В этом случае оно могло указы­вать на молчаливый характер процесса счета на этой по­верхности. Еще один вариант — «абак» означает до­щечку, покрытую слоем пыли.

Абак существовал в Древнем Египте и в античной Греции. Возможно, он был знаком и вавилонянам. В ар­хаичных вариантах абака вычислительное поле и счет­ные элементы не были соединены в единое целое, как например наши счеты. Геродот сообщает, что египтяне пользовались абаком, причем в отличие от греков пере­двигали камешки не слева направо, а сверху вниз.

Абак получил широкое распространение в Древней Греции и Риме, а затем в Западной Европе, где приме­нялся вплоть до XVIII века. В странах Дальнего Востока был широко распространен китайский аналог абака — суан-пан, а в России — хорошо известные счеты.

Независимо от названия счетных приборов, суть их состояла в перекладывании по особым правилам счет­ных элементов или в механическом перемещении их на специальном вычислительном поле. Таким полем могла служить поверхность стола, скамейки, доски, пола или земли. Существовали переносные вычислительные поля и поле постоянного назначения. Счетными элементами, в зависимости от вида наглядно-вычислительного при­способления, могли быть камешки, косточки от слив и вишен, бобы и другие мелкие предметы, а также особые счетные жетоны с цифровыми обозначениями или без них. Счетные элементы использовались в «россыпи» или нанизывались на прутья и шнуры.

Как древнегреческий абак и его различные модифи­кации, так и русские счеты были вычислительными приспособлениями для действий с именованными чис­лами. В конструкции абака «запрограммирована» опре­деленная денежная система, поэтому числовые значения на абаке как бы автоматически получали денежную форму выражения.

«Дощатый счет», в результате развития которого появились русские счеты, варьировался в зависимости от конкретных вычислительных потребностей. Если бы­ло нужно подсчитать денежную сумму, то использова­лась «счетная дщица», «запрограммированная» приме­нительно к денежной системе. Если требовалось найти количество товара по весу, то пользовались другой схе­мой, «запрограммированной» относительно мер веса. С изменением денежной системы менялась и конструкция наглядно-вычислительного средства (абака).

При счете также использовались различные церы — специальные приспособления для записи количества. Например, церы употреблялись и на Руси. Древнейшие из них найдены археологами в Новгороде и датируются концом XI века. Мы уже отмечали, что в качестве счет­ного поля использовалась любая ровная поверхность, например стол, пол или земля. Для числовых подсчетов достаточно было провести на земле параллельные ли­нии — и счетное поле абака было готово. Располагая в получившихся колонках вишневые или сливовые косточки и перемещая их в зависимости от исходных чи­словых данных, записанных на восковой поверхности церы острой палочкой («писалом»), которой, кстати, могли быть прочерчены и линии на земле, находили ис­комый результат. Его также заносили в церу, а после использования восковую поверхность заравнивали (вто­рой конец «писала» имел для этого форму лопаточки), приводя в готовность для новых подсчетов.

В формировании количественных представлений у детей дошкольного возраста применяются подобные средства счета — рисование на земле необходимого ко­личества линий; счетный материал: палочки, пуговицы, косточки и т. п. Дети используют различные абаки, в том числе счеты и игрушки, основанные на этом прин­ципе, не подозревая о том, что это древние счетные приборы. Так, в первом классе школы 8-го вида уча­щиеся с интеллектуальным недоразвитием и в настоя­щее время обучаются арифметическим действиям сло­жения и вычитания на счетах.

Счет активно включается в игры детей, подчас при­нимая некоторый ритуальный характер, например в считалках.

И. И. Шангина, исследуя игры и детский фольклор русских детей, приводит классификацию считалок — словесных рифмованных формул, коротких стишков, применяемых для определения ведущего в игре и рас­пределения ролей. Они делятся на считалки-числовки, содержащие счетные слова, искаженные счетные слова и слова, заменяющие числительные и т. д. [Шангина И.И. Русские дети и их игры. – СПб.: Искусство-СПб., 2000. – С. 117]. И. И. Шангина предполагает, что считалки связаны с ритуально-бытовой практикой взрослых. В глубокой древности в некоторых случаях люди пользовались тай­ным счетом вместо обычного подсчитывания. Это име­ло место тогда, когда на подсчитывание каких-либо предметов накладывался запрет из-за опасения неудачи или неприятностей. Древний тайный счет сохранился в детской игре в виде считалок.

Л. С. Выготский отмечал, что культурное поведение ребенка вырастает на основе его примитивных форм, но этот рост часто означает борьбу, оттеснение старой формы, иногда ее полное разрушение, иногда «генеа­логическое» напластование различных генетических эпох, которые делают поведение культурного человека похожим на земную кору. Ученый обращает внимание на то, что и наш мозг представляет собой такие «генеа­логические напластования». В качестве примера Л. С. Выготский приводит формирование количествен­ных представлений у детей. Он отмечает, что если в на­чале развития операция с количеством сводится лишь к восприятию определенного множества и ребенок не считает, а воспринимает количество, то в дальнейшем этот процесс заменяется другим, в котором участвует ряд опосредованных вспомогательных знаков: расчле­няющая речь, использование пальцев и т. д. Это приво­дит ребенка к процедуре пересчета. Дальнейшее разви­тие счетных операций связано с радикальными перестройками принимающих в них участие психиче­ских функций, и счисление с помощью сложных счет­ных систем вновь предстает как качественно особое психологическое новообразование.

Дальнейшее развитие математических знаний при­вело к появлению символических обозначений чисел, вычислительных операций и к оформлению различных систем счисления — иероглифических непозиционных, алфавитных, а также позиционных недесятичных и де­сятичной систем счисления.

Среди иероглифических непозиционных систем счисления упомянем египетскую, критскую, ацтекскую, сирийскую, старокитайскую. Алфавитные системы счисления характеризуются использованием букв для обозначения единиц, десятков, сотен. Многозначные числа строились по аддитивному принципу: записанный в алфавитной системе символ выражал число, получен­ное сложением чисел, соответствующих составляющим го символам. Известны такие алфавитные системы счисления, как древнеславянская, грузинская, армянская, еврейская.

Наивысшим достижением индийской математики принято считать широкое употребление десятичной системы, которой мы пользуемся и сегодня, а также ведение нуля для обозначения единиц данного разряда. Происхождение и употребление в Индии цифр, называемых теперь «арабскими», как отмечается в исследовании А. Н. Колмогорова, не вполне выяснено. Тем не менее мы должны отметить, что современное человечество пользуется этой наиболее удобной десятичной системой счисления.

В различных методических пособиях по формированию первоначальных математических знаний у детей дошкольного и младшего школьного возраста с различным уровнем интеллектуального развития анализируются разные системы счисления (А. П. Антропов, Ф. Н. Блехер, Н. Б. Истомина, М. Н. Перова, А. А. Свечников, Л. П. Стойлова, Е. И. Щербакова и др.). Такая в некотором смысле историческая справка необходима прежде всего для того, чтобы понять и оценить утилитарность той системы счисления, которой люди пользуются на современном этапе развития науки и практики. Так в процессе исторического развития складывались разные системы счисления: двоичная, пятиричная, десятичная и другие. Однако наибольшего совершенства достигла десятичная система. Анализируя возможности усвоения данной системы детьми дошкольного возраста, Ф. Н. Блехер отмечает, что десятичная система проста и удобна: ряд чисел бесконечен, количе ство же их названий и письменных знаков крайне огра­ничено. Всего каких-нибудь два десятка числительных и десять арабских цифр могут быть использованы для обозначения любой величины. Эта ограниченность средств обусловлена огромным внутренним единством системы. Фундамент ее составляет десяток, в основе письменной нумерации лежит десятичная система, ко­торая в силу своей простоты доступна детям дошколь­ного возраста, в том числе и с отклонениями в интел­лектуальном развитии.

Анализ формирования временных представлений человека свидетельствует о том, что они прошли слож­ный путь, связанный с различными религиозными, кли­матическими и другими факторами. Измерение времени необходимо искать в самой природе. Древний человек использовал как меру времени движение солнца. Утро, полдень, вечер, ночь — вот первые приблизительные мерки времени. Они не были точными, но, видимо, до­вольно долго удовлетворяли потребности первобытного человека.

С развитием земледелия человек учился определять сроки посева и ухода за растениями. Так была установ­лена естественная единица измерения времени — год. Известно, что в Вавилоне уже пользовались природной мерой — сутками, то есть временем от одного восхода солнца до другого (сутки — это период полного оборота Земли вокруг своей оси). Наблюдая за движением не­бесных светил, люди смогли создать календарь, кото­рый не раз уточнялся, прежде чем обрел современный вид.

Представляет интерес Погодинский список, состав­ленный Кириком Новгородцем в XVI веке. Он объеди­няет в два самостоятельных раздела: сведения о едини­цах времени и о теоретических основах календаря, — что свидетельствует о формировании временных пред­ставлений.

Первые пять параграфов Погодинского списка мож­но объединить в самостоятельный раздел. Они связаны между собой общей темой: единицы измерения времени (год, месяц, неделя, день, час). Причем рассматриваются они в пределах одного периода: от «сотворения мира» до момента создания календаря. Содержание следую­щих параграфов связано с теорией календаря, то есть с другой темой, посвященной таким понятиям, как «ин­дикт» (15-летний период), «солнечный круг» (28-летний период), «лунный круг» (19-летний период), «великий круг» (цикл в 532 года) и др.

Учитывая, что время — наиболее отвлеченная кате­гория, люди пытались дать образное выражение каждо­му из временных представлений. Например, древние греки соотносили времена года с богами. Парки, или мойры, часы, или горы (существуют различные назва­ния), — это богини, дочери Зевса и Фемиды. Они счита­лись самыми медлительными богинями, чередовавши­мися друг с другом и не оспаривавшими друг у друга прав. У греков они первоначально олицетворяли време­на года. Их было три — Весна, Лето, Осень. На антич­ном барельефе, помещенном на жертвеннике двенадца­ти богам, который хранится в Париже в Лувре, они изображены следующим образом: Весна с цветами, Ле­то с веткой, а Осень с виноградной кистью в руках. У римлян времена года символизировали изображения юношей с различными атрибутами: Весна, увенчанная цветами, держит козленка и рог изобилия; Лето с вен­ком из колосьев и со снопом в руках; у Осени на голове ветка оливкового дерева, в руках корзина, наполненная винными ягодами; на голове у Зимы венок из тростника, в руках — гусь. В произведениях декоративного ис­кусства более позднего времени часто встречаются ал легорические изображения времен года, но в образе женщин.

В этом плане представляет значительный интерес мифология русского народа, так как мифологический период является естественным этапом развития культу­ры любого народа. Как отмечает В. В. Шуклин, в мифо­логии русского народа, в поверьях и суевериях, в обря­дах и ритуалах, в языке отражена жизнь простых людей. До недавнего времени глубокому изучению русских мифов препятствовало противопоставление их научным знаниям. Миф и наука — не противоположные, а сосу­ществующие культурные явления. Например, времена года в русских мифах персонифицировались и были ха­рактерны именно для данного климата, отличаясь от об­разов греческой мифологии. Так, Весна представлялась в образе юной, прекрасной и всеми любимой девы. Зима «ходит с гвоздем, кует морозы, студит землю, сковывает на три аршина воды под своими ногами и накидывает на реки и озера ледяные мосты, скрепляя их гвоздями». Лето — тихий, богатый, красивый муж, питающий людей результатами своего труда. Счита­лось, что Лето приплывает на челноке по весеннему разливу вод. Осень представлялась в виде зрелой, уже стареющей многодетной женщины.

Желание отразить свое символическое видение оп­ределенного времени года проявляется в литературных образах разных народов, обыгрывается в различных фольклорных праздниках.

Именно поэтому в формировании представлений о временах года у детей дошкольного возраста активно используются сказочные, литературные персонажи, ко­торые находят отражение в рисунках детей. Причем со­временные дети, по нашим наблюдениям, в большинст­ве своем изображают времена года в женском облике. Этому во многом способствуют детские праздники, которые проводятся в учреждениях, где педагоги, наряжа­ясь в различные костюмы, представляют времена года. Автор данного пособия за более чем 25-летнюю практи­ку педагогической работы выступала в роли различных времен года, но ни разу ни у нее, ни у ее коллег не воз­никло мысли о том, что образ Лета можно представить в мужском облике. Это видение передается и детям, кото­рые его творчески отражают, прежде всего, в рисунках, аппликациях, играх.

Не менее длительна и сложна история развития гео­метрических представлений. Первые геометрические понятия люди приобрели еще в глубокой древности. Они возникли из потребности определять вместимость различных предметов и сооружений (сосудов, амбаров и т. п.) и площади земельных участков. Древнейшие из­вестные нам письменные памятники, содержащие пра­вила определения площадей и объемов, составлены в Египте и Вавилоне около четырех тысяч лет назад.

Свидетельством тому, что геометрия зародилась в Древнем Египте и была направлена на решение практи­ческих задач, возникавших в строительстве, при распре­делении земельных наделов, измерении площадей и других объектов, являются египетские пирамиды, воз­веденные около пяти тысяч лет назад. Их строительство требовало достаточно сложных и точных геометриче­ских расчетов.

Около двух с половиной тысяч лет назад греки за­имствовали у египтян и вавилонян их геометрические знания, которые первоначально применялись для из­мерения земельных участков. Отсюда и название «геометрия», что в переводе с греческого означает «землемерие».

Греческие ученые не просто переняли знания древ­них вавилонян и египтян, они заложили основы науки геометрии, в которой каждое утверждение подтвержда лось строгим доказательством. Греки открыли множество геометрических свойств и создали стройную систему геометрических знаний. В ее основу они положили про­стейшие геометрические свойства, подсказанные опы­том. Остальные выводились из простейших с помощью рассуждений.

Эта система около 300 года до н. э. получила завер­шенный вид в «Началах» Эвклида, где изложены также основы теоретической арифметики. Большинство назва­ний, используемых в процессе формирования элемен­тарных геометрических представлений, происходят от греческих слов и могут быть даны детям в игровой форме. Так, слово центр происходит от греческого сло­ва, обозначающего палку с заостренным концом — ножку циркуля, которую ставили в центр описываемой окружности. Название «ромб» — от слова волчок, «тра­пеция» — от слова столик, «сфера» — от слова мяч, а «конус» — от слова сосновая шишка и т. д. Геометриче­ские фигуры изображались в различных орнаментах, что также способствовало возникновению понятия о гео­метрических фигурах.

У детей дошкольного возраста геометрические представления формируются прежде всего в процессе предметно-практической и игровой деятельности. Эта деятельность позволяет ребенку очень рано включиться в процесс ознакомления с пространственными телами и плоскостными фигурами, линиями, точками. Ведь его первые игрушки имеют четко обозначенную форму: по­гремушки различной конфигурации, шары, мячи, куби­ки, пирамидки и т. п. Играя с этими игрушками, ребенок знакомится с формой предметов на тактильно-зрительном уровне, то есть на уровне развития локомо­торных функций.

Многие геометрические понятия возникли в процес­се развития человеческого общества в результате многократных наблюдений реальных предметов той или иной формы. Дети также многократно наблюдают ре­альные предметы, взаимодействуют с ними, приобрета­ют определенный опыт, в результате чего у них форми­руются геометрические знания.

На начальном этапе развития геометрических пред­ставлений у детей называние, а следовательно и зри­тельное соотнесение, происходит на основе выделения формы конкретного предмета. В это время дети исполь­зуют предэталонные названия, что соотносится с исто­рическим контекстом. А. А. Люблинская, анализируя роль слова в развитии зрительного восприятия у детей, отмечает, что ребенок, наблюдая различные предметы, выделяет в них форму, когда он знает их словесное обо­значение. По ее мнению, неговорящий ребенок, конеч­но, тоже видит круглый мяч и отличает его от кубика, однако знание формы, отвлеченной от содержания (шар, круг, цилиндр, куб), возможно только на основе словес­ного обозначения. Тогда узнанная форма «видится» (по образному выражению А. А. Люблинской), то есть аб­страгируется, в любом предмете.

Вспомним, что на ранних этапах развития различ­ных культур орудия, одежда, посуда, постройки, укра­шения имели сравнительно правильную форму. Так и ребенок в процессе игры с кубиками, лепки, рисования, аппликации долгое время стремится достаточно точно передать форму, свойственную конкретному предмету.

Формирование знаний о величине неразрывно свя­зано с представлениями о количестве, которые, как мы отметили ранее, возникли у древних людей на основе практических действий. Так, у египтян за единицу дли­ны был принят локоть. Дошедшие до нас древние папи­русы свидетельствуют о том, что в Египте локоть соот­носили и с другими единицами, но при этом все они были связаны с рукой: один локоть равен шести ладо ням, одна ладонь содержит четыре пальца, а в одном локте двадцать четыре пальца, то есть одновременно складывались по две руки (по восемь пальцев) у трех человек. Это уже целая система единиц длины. Образец единицы длины — «священный локоть» — египетские жрецы хранили в храме. Его, таким образом, использо­вали в качестве одного из первых эталонов длины.

Изучение названий «единиц измерения» длины, принятых в различных странах, наводит на мысль о том, что в качестве основы использовались те или иные час­ти человеческого тела, прежде всего руки и ноги, в ос­новном стопа. Например, чтобы измерить длину стрелы, ее сравнивали с длиной руки от локтевого сустава до конца среднего пальца (единица длины — локоть). Эта единица длины исторически наиболее ранняя и сохра­нявшаяся на протяжении тысячелетий. В других случаях пользовались измерением с помощью длины стопы (единица измерения — лапоть, фут, то есть в переводе с англ. foot — нога). Эти условные мерки сохранились в различных практических действиях и современных лю­дей. Прежде всего, они наблюдаются в предметно-практической, продуктивной, игровой деятельности де­тей дошкольного возраста. Причем чаще всего дети не обучаются таким способам измерения специально. В определенный момент включаются механизмы дви­гательной памяти, заложенной в наследственной ин­формации, сформировавшейся в предыдущей истории развития человечества, в программе эволюции локомо­торных функций, которая формирует алгоритм развития систем переместительных движений в организме (Н. А. Бернштейн). Формируя знания детей о величине, педагоги активно используют разные условные мерки, включая их в игры детей, прежде всего в игры с прави­лами: дидактические и подвижные.

Для измерения объемов сыпучих веществ и жидкостей в древности использовались различные сосуды, ем­кость которых определялась весьма неточно: ладони, бочка, ведро, кадь (40 ведер) и т. п., то есть измерения проводились с помощью предметов быта, прежде всего хозяйственной утвари. О более древних единицах объе­ма сведения практически отсутствуют. Подобные способы для измерения объемов сыпучих веществ (песка, глины, различных круп) и жидкостей используют в про­цессе игр дети, часто следуя примеру взрослых. У детей раннего и младшего дошкольного возраста этот способ измерения объемов является основным.

Интерес, который мы наблюдаем в современных психолого-педагогических исследованиях и методиче­ских разработках к обучению детей дошкольного и младшего школьного возраста, к играм с песком, водой, различными сыпучими материалами вполне оправдан и с точки зрения филогенетического развития, когда эти практические действия, обусловленные хозяйственной деятельностью человека, способствовали не только накоплению практического жизненного опыта, но и стимулировали развитие математических представле­ний: величинных, количественных и пространственных. В истории человечества наряду с простейшими аба­ками достаточно рано стали применяться и приборы для определения веса — весы. Простейшие весы использу­ются и в процессе дошкольного воспитания. Они дают наглядное представление о взвешивании и не требуют от детей сформированности представлений о числе, не­обходимых для работы с современными измерительными приборами. Наиболее образно, на наш взгляд, описал процесс формирования математических представлений на про­тяжении многовековой истории человечества И. Г. Песталоцци: «Дикарь, которым руководит только приро да... не знает никаких произвольных цифровых обозна­чений; он знает только предметы, которые можно со­считать, и он считает их. В течение ряда столетий в его сознании существуют их реальные соотношения задолго до того, как он узнает цифры, при помощи которых мо­жет выразить эти соотношения. И проходит еще много столетий, прежде чем он сможет представить себе скры­вающиеся под произвольными цифровыми обозначе­ниями реально существующие соотношения предметов.

То же самое относится и к соотношению единиц из­мерения. Природа не знает ни фута, ни дюйма, ни саже­ни, короче говоря, она не знает никаких произвольных обозначений какого бы то ни было соотношения мер. Во всяком случае, несомненным является то, что человече­ство может прийти к признанию и употреблению какой бы то ни было произвольной единицы измерения только через внутреннее осознание всеобщего реального соот­ношения всех форм измерения, основа которых не за­ложена и не может быть заложена в самой душе челове­ка».

Таким образом, формирование математических представлений у дошкольников и становление матема­тики, как науки, — длительный интеллектуальный этап в развитии человечества, который во многом схож у различных народов. Знание особенностей развития ма­тематических представлений в фило- и онтогенезе явля­ется ценным для совершенствования методических под­ходов к развитию математических представлений у дошкольников и младших школьников, а также к кор­рекции отклонений в математическом развитии у детей с интеллектуальной недостаточностью.

Система периодизации истории развития математи­ки разработана А. Н. Колмогоровым. Конечно, дойдя до наших дней, она претерпела определенные изменения, но в ней четко выделяются три основных периода. Первый — зарождение математики (Египет, Вавилон до VI века н. э.). Второй — период элементарной матема­тики, развитие математики постоянных величин (Древ­няя Греция, эллинская и римская эпоха, Китай, Индия, Средняя Азия и Ближний Восток, Западная Европа до XVI века, Россия до XVIII века). Третий — период соз­дания математики переменных величин (XVII-XVIII века) и период современной математики с прису­щей ей абстрактностью в трактовке пространственных форм и количественных отношений реального мира. С середины XX столетия, с появлением электронных вы­числительных машин начал формироваться новый пе­риод развития математики, характеризующийся резким ростом значения учения о дискретности и алгоритмах.

Современная математика достигла очень высокого уровня развития. Сегодня насчитывается несколько де­сятков различных областей этой науки, каждая из кото­рых имеет свое содержание, свои методы исследования и свои сферы применения. Во второй половине XX века появились математическая экономика, математическая биология и лингвистика, математическая логика, теория информации, кибернетика и др.

Итак, математика, рожденная практическими по­требностями человека, преобразовалась в комплексную науку, обеспечивающую развитие современного обще­ства. Возникнув в древности в результате попыток человека постичь законы мироздания, она продолжает волновать умы человечества до сих пор.

Ребенку всегда интересно постигать мир математики — мир чисел, отношений между ними, форм и величин. Для него это во многом сказка, в которой живут разные формы, числа, цифры и т. п. Он хорошо отличает мир сказки от мира реальной жизни. Так же хорошо он может отличить «сказочный» мир математики от мира физических предметов. Современные программы и ме тодические рекомендации учитывают особенности раз вития элементарных математических представлений воображения, логики у детей дошкольного возраста. В ряде программ рекомендуется при ознакомлении детей с основами математики использовать элементарные исторические сведения о развитии математической мысли древних на основе сказочных сюжетов с математиче­ским содержанием (программы «Радуга», «Родник» и др.). Так, в программе «Радуга» при формировании ко­личественных, геометрических и других представлений обращается внимание на те проявления числа и формы в окружающем мире, которые интересны, красивы и не­случайны. Число лепестков каждого цветка, форма ра­ковины моллюсков определенного вида, композицион­ное построение произведения живописи — везде находятся числа, фигуры, происходит соединение зна­ний о них с эмоциональными переживаниями ребенка (Т. Н. Доронова, Е. В. Соловьева). В программе «Род­ник» формирование пространственных, временных представлений основывается на воспитании ребенка в единстве с окружающим миром, на культурно-историческом материале из жизни славян, раскрываю­щем их восприятие мироздания и природы. Ребенок учится осознавать себя живущим в определенном вре­менном периоде, воспринимать ритмическую картину мира (Л. Б. Баряева, Е. О. Герасимова и др.).