Тема: Средние величины и показатели вариации

Метод средних величин - один из наиболее распространенных приемов изучения явлений и процессов общественной жизни. Средние величины широко применяются в статистике.

Необходимо уяснить сущность средней величины, обобщающей характеристики качественно однородной совокупности явлений по изучаемому признаку. Следует уделить внимание принципам правильного применения средних величин.

Метод группировок - база для получения дифференцированных величин средних, поэтому, приступая к изучению темы “Средние величины”, необходимо увязать ее содержание с вопросами статистических группировок.

Следует уяснить, что средняя величина должна вычисляться с учетом экономического содержания определяемого показателя.

Для правильного определения средней величины и обоснования применяемой формулы для расчетов, необходимо использовать логическую формулу (формулу исходного состояния средней) или использовать формулы расчета относительных величин.

ИСС=

При выборе вида средней для характеристики среднего уровня анализируемых явлений следует исходить из существа изучаемых явлений и наличия исходных данных.

- Если заданы варианты усредняемого признака х_i и их частоты f_i, (показывают, сколько раз встречается данный признак), то для расчета их среднего значения пользуются среднеарифметической взвешенной:

- Если частоты f_i всех вариантов x_i равны, то пользуются среднеарифметической простой:

- Если известны варианты и их суммарные значения по группам W, но неизвестны частоты f вариантов, пользуются средней из обратных величин, называемой средней гармонической:

,

где W = x_i f_i , т.е. W - вес, который по своему значению является произведением варианты на частоту. Например, фонд оплаты труда (W) - это произведение варианты (x_i - заработная плата отдельных рабочих) на частоту (f_i - число рабочих). Т.о. W - вторичный носитель признака.

Расчет средней, когда известны данные на начало и конец периода, ведется по формуле средней хронологической.

,

где n – количество дат, на которые представлены значения признака Х.

Выбирая тот или иной вид средней, всегда надо иметь ввиду, что средняя правильна тогда, когда имеет реальный экономический смысл.

Для нахождения среднего значения признака в интервальном ряду необходимо интервальный ряд преобразовать в дискретный, вычислив центр интервала в каждой группе. Центр интервала определяем по формуле средней арифметической простой:

,

где x_i- нижняя граница интервала

x_i+1 - верхняя граница интервала.

Для характеристики изучаемого явления большое значение имеет исследование степени колеблемости отдельных значений признака относительно своей средней. Вариацию признака характеризуют следующие показатели:

- размах вариации;

- среднее линейное отклонение;

- дисперсия;

- среднее квадратическое отклонение;

- коэффициент вариации.

Показатели вариации используются для характеристики надежности средней, а также степени колеблемости, ритмичности работы предприятия, определения допустимых границ отклонения качества исследуемого товара от нормы, при установлении границ технических условий, проведения физико-механических испытаний качества товаров, определения допуска в стандартах и т.д.

В статистических работах в качестве измерителя колеблемости чаще всего используют среднее квадратическое отклонение:

Для вычисления среднего квадратического отклонения (невзвешенного) :

1. Определяется средняя арифметическая:

2. Рассчитываются отклонения вариант от средней величины:

3. Отклонения вариант от средней величины возводятся в квадрат:

4. Суммируются квадраты отклонений:

5. Полученная сумма делится на число вариант (определяется средняя из квадратов):

6. Из полученной средней извлекается квадратный корень:

Для вычисления среднего квадратического отклонения (взвешенного) квадраты отклонений следует дополнительно умножить на частоты f.

Среднее квадратическое отклонение есть корень квадратный из среднего квадрата отклонений (дисперсии). Среднее квадратическое отклонение является абсолютной мерой колеблемости признаков и выражается в тех же единицах измерения, что и средняя.

Коэффициент вариации вычисляется процентным отношением среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Если коэффициент вариации находится в пределах от 0 до 33%, то в этом случае полученная средняя величина может характеризовать совокупность в целом.

Мода и медиана являются структурными средними.

Мода М_о для дискретного ряда распределения определяется по максимальной частоте, т.е. находят наибольшую частоту в ряду распределения и соответствующий ей вариант является модой. Медиана М_е находится в середине ряда, которую определяют, поделив накопленные частоты f пополам. Если ряд интервальный, моду М_о и медиану М_е определяют по формулам:

,

где x_Mo - нижняя граница (начало) модульного интервала;

i - величина интервала;

f_Mo - частота модального интервала;

f_Mo-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

f_Mo+1 - частота интервала, следующего за модальным.

,

где x_Me - нижняя граница (начало) медианного интервала;

i - величина интервала;

f_i - сумма накопленных частот ряда;

f_Me - частота медианного интервала;

S_Me-1 - накопленная частота вариант интервала, предшествующего медианному.