2. Примеры решения задач
Задача 1. В районе А проживает 2500 семей. Для проведения обследования выбрано 50 семей методом собственно-случайного бесповторного отбора. В результате обследования получены следующие данные о количестве детей в семье:
Число детей в семье |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Количество семей |
10 |
20 |
12 |
4 |
2 |
2 |
Определить предельную ошибку выборочной средней количества детей в семье и с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится среднее количество детей в семье в районе А.
Решение.
Предельная ошибка выборочной средней определяется по следующей формуле:
,
где n - численность выборки;
N - численность генеральной совокупности;
- дисперсия признака x .
Дисперсия определяется по формуле
,
а среднее выборочное значение
Расчет среднего и дисперсии числа детей в семье в выборочной совокупности приведены в табл.2.2.
Таблица 2.2
Число детей в семье x |
Количество семей F |
x*f |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
-1,48 |
2,1904 |
21,904 |
1 |
20 |
20 |
-0,48 |
0,2304 |
4,608 |
2 |
12 |
24 |
0,52 |
0,2704 |
3,2448 |
3 |
4 |
12 |
1,52 |
2,3104 |
9,2416 |
4 |
2 |
8 |
2,52 |
6,3504 |
12,7008 |
5 |
2 |
10 |
3,52 |
12,3904 |
24,7808 |
Итого |
50 |
74 |
|
|
76,48 |
0
Среднее число детей в семье составляет 1,48 человек.
Дисперсия числа детей в семье
Значению вероятности 0,997 соответствует значение коэффициента доверия t=3. Тогда предельная ошибка числа детей в выборке составит
Значение генеральной средней определяется
Пределы, в которых находится среднее число детей в семье в районе А:
С вероятностью 0,997 можно утверждать, что число детей в семьях района А колеблется от 0,99 до 2,01 человека ( от 1 до 2 человек).
Задача 2. Методом собственно-случайного повторного отбора было взято для проверки на вес 200 штук деталей. В результате проверки был установлен средний вес деталей 30 г при среднем квадратическом отклонении 4 г.
С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых находится средний вес деталей в генеральной совокупности.
Решение.
Средняя ошибка среднего веса деталей в выборке (выборочной средней)
Предельная ошибка выборочной средней с вероятностью 0,954 коэффициент доверия составит t=2
Верхняя граница генеральной средней
Нижняя граница генеральной средней
С вероятностью 0,954 можно утверждать,
что средний вес детали колеблется в
пределах
Задача 3. В результате бесповторного отбора из общей численности работников предприятия (5 тыс.чел.) было отобрано 500 работников. Установлено, что 20% работников в выборке старше 60 лет.
Определить с вероятностью 0,683 пределы, в которых находится доля работников предприятия в возрасте старше 60 лет.
Решение.
Средняя ошибка выборочной доли работников старше 60 лет определяется следующим образом
С вероятностью 0,683 коэффициент доверия t=1 предельная ошибка выборочной доли работников старше 60-ти лет составит:
Верхняя граница генеральной доли:
Нижняя граница генеральной доли:
С вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля работников в возрасте старше 60 лет на предприятии колеблется от 18,3% до 21,7%.
Задача 4. Для определения средней длины детали необходимо провести выборочное обследование методом случайного (или механического) повторного отбора.
Определить, какое количество деталей необходимо отобрать (численность выборки), чтобы ошибка выборки (ошибка выборочной средней) не превышала 2 мм с вероятностью 0,988 при среднем квадратическом отклонении 8 мм.
Решение.
Необходимая численность выборки в случае повторного собственно-случайного (или механического) отбора при вероятности 0,997 (коэффициент доверия t=3) определяется следующим образом:
Следовательно, при повторном отборе для обеспечения репрезентативности выборки при заданной точности и вероятности необходимо обследовать 144 детали.