§ 2. Ймовірність події. Класичне (теоретичне) і статистичне означення

Для практичної діяльності необхідно оцінювати можливість появи випадкової події у досліді. Для цього потрібно ввести кількісну міру, щоб оцінювати таку можливість. Такою мірою є ймовірність події. Простіше за все це зробити, якщо всі елементарні події, пов’язані з даним дослідом, рівноможливі. Події називаються рівноможливими, якщо за умовами досліду всі вони мають однакову можливість появи.

Приклади:

1) Випадіння герба або цифри при киданні монети.

2) Випадіння виграшу в лотереї на будь-який квиток.

Нехай подія може з’явитися у досліді, який має рівноможливих результатів, причому з них сприяють події . Ймовірністю події називається відношення числа результатів, що сприяють появі цієї події, до загальної кількості результатів . Так визначається класична або теоретична ймовірність події. Вона позначається

. (2.1)

Але таким означенням ймовірності можна користуватися тільки коли з дослідом пов’язана скінчена кількість рівноможливих елементарних подій.

Більш універсальним є підхід, який дозволяє визначити ймовірність події шляхом експерименту. Нехай подія є результатом деякого досліду, який повторювався разів. В результаті цих випробувань подія відбулася разів. Відношення числа випробувань , у яких подія відбулась, до загальної кількості випробувань називається статистичною (емпіричною) ймовірністю або відносною частотою появи події . Позначається статистична ймовірність (відносна частота) . Згідно з означенням маємо формулу

. (2.2)

Як показує практика, якщо проведені серії з випробувань і число випробувань у кожній серії невелике, то відносні частоти у кожній серії можуть значно відрізнятись між собою. Але при здійсненні серій з великою кількістю випробувань спостерігається властивість стійкості відносних частот або статистичних ймовірностей.

Властивість стійкості відносних частот: при проведенні серій з великою кількістю випробувань відносні частоти події в різних серіях мало відрізняються між собою і ця різниця прямує до нуля при збільшенні кількості випробувань у серіях. На підставі цієї властивості можна стверджувати, що існує границя відносної частоти при зростанні кількості випробувань. Ця границя і вважається ймовірністю події:

. (2.3)

З рівності (2.3) випливає, що при досить великій кількості випробувань

. (2.4)

Таке означення ймовірності дає метод її емпіричного визначення шляхом проведення випробувань або спостережень.

З обох означень ймовірності, і класичного (2.1) і емпіричного, випливають її загальні властивості:

1. Для будь-якої події : .

2. Якщо – достовірна подія, то .

3. Якщо – неможлива подія, то .

§ 3. Дії над подіями та їх властивості

Сумою (об’єднанням) двох подій та називається третя подія , зміст якої полягає в тому, що в результаті випробування відбудеться хоча б одна з цих подій. Можна сказати, що сума подій відбудеться у випадку, коли відбудеться подія або подія або обидві ці події разом. Позначається додавання подій так:

або .

Поняттю суми подій можна надати таку геометричну інтерпретацію. Нехай подія полягає в тому, що точка належить області на площині, а подія – точка належить області на площині. Тоді подія складається з того, що точка належить об’єднанню цих областей.

Рис. 1

Аналогічно визначається сума будь-якої скінченої кількості подій. Сумою довільної скінченої кількості подій є подія, яка складається з появи у випробуванні хоча б однієї з них.

Властивості додавання подій:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. Якщо події – єдиноможливі, то .

Добутком двох подій та називається третя подія , зміст якої полягає в тому, що в результаті випробування обидві ці події відбудуться разом. Позначається добуток подій так:

або .

Якщо повернутися до геометричної інтерпретації суми подій, то за таких самих умов добуток подій і складається з того, що точка належить перетину множин і .

А

А В

В

Рис. 2

Аналогічно вводиться поняття добутку довільної кількості подій. Добутком подій називається подія, яка складається з того, що всі ці події відбудуться одночасно.

Властивості множення подій:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. , якщо і – несумісні події.

7. .