§ 5. Формула Байєса. Формула повної ймовірності

Нехай події утворюють повну групу подій, а деяка подія С може відбутися тільки одночасно з однією з цих подій. Причому відомі ймовірності та , . За цих умов необхідно знайти ймовірність події , тобто . З властивості (5) множення подій маємо

,

але

.

Звідки

. (5.1)

Зауважимо, що оскільки події – несумісні, то будуть несумісними кожна з подій . Тому

.

Але згідно з теоремою про ймовірність добутку

. (5.2)

Після підстановки (5.2) у попередню формулу остаточно знаходимо

. (5.3)

Формула (5.3) називається формулою повної ймовірності.

Нехай відомо, що подія відбулася. Необхідно знайти – ймовірність гіпотези: разом з подією відбулася саме подія . Оскільки операція множення переставна, то

.

Звідси

.

З останньої рівності знаходимо

, .

За допомогою формули повної ймовірності останню формулу перепишемо у вигляді:

, . (5.4)

Формула (5.4) називається формулою Байєса або формулою гіпотез.

§6. Послідовність незалежних випробувань, що повторюються. Формули Бернуллі та Пуассона

Ряд випробувань будемо називати незалежним по відношенню до події , якщо ймовірність появи події в кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань:

1) багаторазове кидання монети або грального кубика;

2) виконання пострілів у мішень без корегування;

3) послідовне вимірювання будь-якої величини однаковими приладами і за однакових умов;

4) виготовлення однакових виробів на однаковому обладнанні.

Нехай здійснюється послідовність незалежних випробувань і в результаті кожного з них подія може відбутися з ймовірністю . Необхідно знайти ймовірність події , зміст якої в тому, що подія відбувається разів в випробуваннях . Кількість результатів досліду, що сприяють появі події , дорівнює – кількості сполучень по елементів з загальної кількості елементів. Кожен з таких результатів має однакову ймовірність. Оскільки кожен результат складається з того, що подія відбудеться разів і не відбудеться разів, ця ймовірність дорівнює

.

Якщо врахувати, що за умовою

, а ,

то ймовірність кожного з результатів має бути рівною

.

Тоді ймовірність події , оскільки результати несумісні і рівноможливі, дорівнює

, . (6.1)

Формула (6.1) має назву формули Бернуллі і дозволяє при вищевказаних умовах обчислювати ймовірність появи події за незалежних випробувань разів. Але вже навіть коли кількість випробувань є двозначним числом, при обчисленні за формулою Бернуллі виникають технічні труднощі. Тому для великого числа випробувань використовують наближені варіанти формули (6.1). Труднощі виникають також і в тому випадку, коли необхідно знаходити суми ймовірностей . Така необхідність виникає при підрахунку ймовірності того, що число появи події в межах за випробувань і знаходиться:

. (6.2)

У деяких випадках при великих значеннях можливо замінити формули (6.1) і (6.2) деякими наближеними асимптотичним формулами. Наприклад, це можна здійснити у так званому випадку рідкісних подій – число випробувань досить велике, а ймовірність появи події в одному випробуванні прямує до нуля.

За цих умов можна скористатися наступною теоремою Пуассона. Якщо і так, що , де – скінчена стала, то

. (6.3)

Для доведення (6.3) введемо позначення і скористаємося рівністю

.

Тоді (6.1) можна перетворити наступним чином:

.

Тепер з того, що

, , ,

випливає твердження теореми.

Доведена теорема дозволяє у випадку великої кількості подій використовувати досить просту наближену формулу:

, , (6.4)

яка має назву формули Пуассона.

Також для наближеного обчислення ймовірності появи разів події в випробуваннях можна використовувати наступну теорему.

Локальна теорема Муавра-Лапласа. Нехай так, що величина є обмеженою, тобто існує стала така, що . Тоді

, (6.5)

де , – деяка стала.

Доведення цієї теореми можна знайти у [6], [12]. З (6.5) випливає, що якщо знехтувати нескінченно малою , то шукана ймовірність може бути наближено підрахована за формулою:

, , , (6.6)

яка має назву Муавра-Лапласа.

Функція

(6.7)

має велике застосування в теорії ймовірності і називається функцією ймовірності. Вона дає можливість записати формулу (6.6) у вигляді:

, , . (6.8)

З (6.6), (6.8) можна бачити, що найбільше значення ймовірності буде отримано, коли . Тому при великій кількості випробувань найбільше ймовірне число появи події дорівнює .

Наступна теорема дозволяє наближено обчислювати ймовірність того, що за випробувань число появи події знаходиться у заданих межах.

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Якщо ймовірність появи події у кожному випробуванні однакова і дорівнює , то для будь-яких чисел і :

. (6.9)

Доведення цієї теореми можна знайти в [6], [12].

Інтегральна теорема дає можливість користуватися наступною формулою:

. (6.10)

Очевидно, що нерівність є еквівалентною до наступної:

, , .

Тому і згідно з (6.10) маємо

, , . (6.11)

Формула (6.11) називається інтегральною формулою Муавра-Лапласа. Легко помітити, що

,

де – функція ймовірності, визначена у (6.7). Введемо функцію

. (6.12)

Ця функція називається інтегралом ймовірності. Очевидно,

,

тобто є первісною для функції ймовірності. Тому згідно з формулою Ньютона-Лейбніца для інтеграла в (6.11) знаходимо

.

За допомогою останньої формула (6.11) перетворюється до вигляду:

, , . (6.13)

У вигляді (6.13) інтегральна формула Муавра-Лапласа використовується для практичних розрахунків ймовірності. При цьому значення інтеграла ймовірності знаходиться з таблиць або за допомогою обчислювальної техніки.

Також при розрахунках є корисними наступні властивості інтеграла ймовірності:

1) – непарна функція: ;

2) – обмежена, і .

Причому у більшості випадків при практичних розрахунках при можна вважати .