§8. Приклади розв’язання задач, пов’язаних з послідовністю незалежних випробувань

Задача 14. Прилад складається з 7 вузлів. Ймовірність безвідмовної роботи для кожного вузла 0,9. Знайти ймовірність того, що відмовлять 2 вузли.

Розв’язання.

Ймовірність відмови одного вузла . Ймовірність того, що з 7 вузлів приладу відмовлять рівно 2, тобто 5 вузлів не вийдуть з ладу за формулою Бернуллі дорівнює:

.

Задача 15. В родині 5 дітей. Знайти ймовірність того, що серед дітей більше 3 хлопчиків. Ймовірність народження хлопчика 0,51.

Розв’язання.

Те, що серед дітей більше 3 хлопчиків означає, що в родині або 4 (подія А) або 5 хлопчиків (подія В). Оскільки події А та В несумісні, то . За формулою Бернуллі , , , . Отже,

.

Задача 16. Грають два рівносильних гравця в шахи. Що є більш ймовірним: виграти не менше 3 партій з 4 або не менше 4 партій з 5 (нічиї не враховуються)?

Розв’язання.

Ймовірність для кожного гравця в шахи виграти 1 партію дорівнює , відповідно програти – . Ймовірність виграти 3 партії з 4 за формулою Бернуллі дорівнює:

.

Ймовірність виграти 4 партії з 5 :

.

Таким чином, виграти 3 партії з 4 більш ймовірно, ніж 4 партії з 5.

Задача 17. Монету підкидають 10 разів. Яка ймовірність того, що герб випаде не більше 4 раз?

Розв’язання.

Ймовірність того, що при одному підкиданні монети випаде герб дорівнює , цифра – . Шукану ймовірність знайдемо за формулою (6.2):

.

Задача 18. Ймовірність того, на сторінці атласу може виявитися помилка, дорівнює 0,002. Перевіряється атлас з 500 сторінок. Знайти ймовірність того, що з помилками виявляться 5 сторінок.

Розв’язання.

Оскільки кількість випробувань велика ( ), а ймовірність події в одному випробуванні мала ( ), в даній задачі слід скористатись формулою Пуассона. А саме:

, .

Задача 19. В місті за місяць народилось 200 дітей. Знайти ймовірність того, що серед них рівно 100 дівчаток, якщо ймовірність народження хлопчика 0,515.

Розв’язання.

Ймовірність народження дівчинки дорівнює . Тоді, за локальною теоремою Муавра-Лапласа

, .

Користуючись таблицею для визначення значення функції , знаходимо

.

Задача 20. Відомо, що 0,8 всього числа виготовлених заводом апаратів є продукцією 1 сорту. Знайти ймовірність того, що серед 100 обраних навмання апаратів 1 сорту будуть від 70 до 90 штук.

Розв’язання.

Отже, . Користуючись формулою Муавра-Лапласа, знаходимо

, .

За формулою (6.13)

.

Значення функції знайдено за таблицею (див. додатки).

Питання для повторення

1. Що називається подією.

2. Види подій.

3. Означення статистичної і класичної ймовірностей.

4. В чому полягають сума і добуток подій. Обчислення їх ймовірностей.

5. За яких умов використовується формула повної ймовірності.

6. Різновиди формул з обчислення ймовірності подій, що повторюються.

25