§7. Приклади розв’язання задач

Приклади безпосереднього обчислення ймовірності подій. Застосування елементів комбінаторики:

Задача 1. Навмання обрано натуральне число, що не перевищує число 20 (число 0 не є натуральним числом). Яка ймовірність того, що обране число: а) кратне 5 (подія ); б) є дільником 20 (подія ); в) просте число (подія )?

Розв’язання.

При розв’язанні кожний випадок розглянемо окремо. Елементарних результатів всього =20.

а) Подія відбудеться, якщо оберуть число 5 або 10 або 15 або 20. Отже, події сприяють 4 результати, тобто =4. Тому ймовірність того, що обране число кратне 5, дорівнює

.

б) Подія відбудеться, якщо оберуть одне з чисел 1; 2; 4; 5; 10; 20. Отже, події сприяє 6 результатів, тобто =6. Тому

.

в) Обираючи одне з чисел 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19, відбувається подія . Тобто в даному пункті =8. Тому

.

Розв’язання задач з визначення ймовірності подій часто полегшується, якщо скористатись формулами комбінаторики. Кожна з них визначає число всіх можливих результатів в деякому досліді, що полягає у виборі навмання елементів з різних елементів певної множини.

Перестановкою з елементів називається множина з елементів по елементів. Тобто перестановки – це комбінації, що утворюються з усіх наявних елементів і відрізняються одна від одної тільки порядком розташування елементів. Число перестановок з елементів позначається символом і обчислюється за формулою

.

Сполученнями з елементів по елементів називається будь-яка підмножина, що містить елементів даної множини. Тобто сполучення – це комбінації, кожна з яких складається з елементів, взятих з елементів , і відрізняються одна від одної принаймні одним елементом. Число сполучень з елементів по елементів позначається символом і обчислюється за формулою

.

Розміщеннями з елементів по називається будь-яка впорядкована підмножина з елементів даної множини. Тобто розміщення – це комбінації, що складаються з елементів, і відрізняються одна від одної складом елементів або порядком розташування елементів. Число розміщень з елементів по елементів позначається символом і визначається за формулою

.

Задача 2. Набираючи телефонний номер, забули останніх 2 цифри і набрали їх навмання, пам’ятаючи, що вони різні і непарні. Яка ймовірність того, що номер набрали правильно?

Розв’язання.

Порядок набору забутих 2 цифр впливає на результат (правильно набрали номер або неправильно). Тому кількість всіх елементарних результатів знайдемо за допомогою розміщень: . Результатів, що сприяють події , оскільки серед непарних і різних цифр 1; 3; 5; 7; 9 тільки одна пара цифр буде правильною (забутою). Тому

.

Задача 3. З 15 лотерейних білетів виграшних тільки 4. Яка ймовірність того, що серед 6 обраних білетів виграшними будуть 2 білети?

Розв’язання.

Оскільки порядок обраних білетів неважливий, кількість всіх можливих результатів знайдемо за допомогою сполучень:

.

Серед обраних 6 білетів отримати 2 виграшних, а інші – невиграшні білети можна таким числом способів:

.

Тому ймовірність вказаної в умові задачі події дорівнює:

.

Задача 4. На 4 однакових картках вказані букви Е,О, Р, М. Картки перемішані і розкладені в ряд. Яка ймовірність того, що утвориться слово „МОРЕ”?

Розв’язання.

Кількість всіх можливих результатів обчислюється за допомогою перестановок, оскільки в утворенні кожної групи беруть участь всі букви, тобто . Кількість сприятливих результатів – всього один, . Тому

.

Приклади розв’язання задач за допомогою теорем додавання і множення ймовірностей:

Задача 5. Ймовірність того, що кожне з трьох суден прийде в один і той же порт в обумовлений термін, відповідно дорівнює . Визначити ймовірність того, що у вказаний термін в порт прибудуть принаймні два з трьох суден.

Розв’язання.

Множину результатів зручно визначити за допомогою таблиці, де «+» означає, що судно прийшло в порт, а «–» – не прийшло.

А	1	2	3
А1	+	+	+
А2	+	+	–
А3	+	–	+
А4	–	+	+

Подія відбудеться, якщо в порт прийдуть всі 3 судна, – перше і друге прийдуть, а третє судно не прийде, – перше і третє прийдуть, а друге не прийде, – друге і третє прийдуть, а перше не прийде. Оскільки події , , , – несумісні, то

.

Тому

.

Задача 6. При збільшенні напруги в електричному ланцюгу може відбутися його розрив внаслідок виходу з роботи одного з трьох послідовно з’єднаних елементів, ймовірність відмови в роботі кожного з яких відповідно дорівнюють 0,2; 0,3; 0,4. Визначити ймовірність того, що розрив електричного ланцюга не відбудеться.

Розв’язання.

Розрив електричного ланцюга не відбудеться, якщо будуть працювати всі три елементи цього ланцюга. Ймовірність відмови в роботі першого ланцюга 0,2, а значить ймовірність його роботи , аналогічно, , . Оскільки робота кожного елемента не залежить від того працюють чи ні інші елементи ланцюга, то

.

Задача 7. В лотереї 100 білетів, половина з яких – виграшні. Знайти ймовірність того, що з двох взятих білетів принаймні один буде виграшний.

Розв’язання.

Розглянемо результати, що сприяють події, обумовленій в задачі: перший обраний білет виявився виграшним (подія ), а другий – ні (подія ), або перший обраний білет – програшний (подія ), а другий – виграшний (подія ), або обидва отримані білети – виграшні. Тоді ймовірність того, що перший білет виграшний, а другий програшний за теоремою множення ймовірностей дорівнює

.

Ймовірність того, що перший білет програшний, а другий виграшний обчислюється так:

.

Ймовірність того, що обидва білети виявляться виграшними

.

Оскільки події , , є несумісними, то ймовірність обумовленої в задачі події за теоремою додавання ймовірностей подій дорівнює:

.

Приклади залежних і незалежних подій і підрахунку їх ймовірностей:

Задача 8. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі першим стрілком , другим стрілком . Яка ймовірність того, що при одночасному пострілі двох стрілків у мішень попаде тільки один з них?

Розв’язання.

Оскільки необхідно знайти ймовірність того, що при одночасному пострілі двох стрілків у мішень влучить тільки один з них, то мова йде про ймовірність суми подій. В даній задачі події А та В є сумісними подіями (влучення у мішень одного стрілка не виключає можливості влучення у мішень іншим стрілком), тому

.

Оскільки подія А – влучення у мішень першим стрілком і подія В – влучення у мішень другим стрілком є незалежними подіями, то . Тому

.

Задача 9. У читальному залі 6 підручників з теорії ймовірностей, серед яких 3 у палітурці. Бібліотекар навмання взяв 2 підручники. Знайти ймовірність того, що обидві книги виявляться переплетеними.

Розв’язання.

Введемо позначення: – перший взятий підручник переплетений, – другий взятий підручник переплетений. Ймовірність того, що перший взятий підручник переплетений дорівнює . Ймовірність того, що другий взятий підручник виявився переплетеним за умови, що перший теж був переплетений, тобто умовна ймовірність події дорівнює . Шукана ймовірність того, що обидва підручники виявляться переплетеними, за теоремою множення ймовірностей подій дорівнює

.

Задача 10. Студент знає 20 з 25 питань програми. Знайти ймовірність того, що студент знає задані йому 3 питання.

Розв’язання.

Нехай подія – студент знає відповідь на питання , . Ймовірність того, що студент знає відповідь на перше питання дорівнює . Ймовірність того, що студент знає відповідь на друге питання, за умови, що він дав правильну відповідь на перше питання, тобто умовна ймовірність події дорівнює . Ймовірність того, що студент знає відповідь на третє поставлене йому питання за умови, що він правильно відповів на перше та друге поставлені йому питання, тобто умовна ймовірність події дорівнює .

Шукана ймовірність того, що студент знає задані йому 3 питання, за теоремою множення ймовірностей подій дорівнює

.

Приклади розв’язання задач з використання формули повної ймовірності та формули Байєса:

Задача 11. Прилад може працювати в двох режимах: нормальному та ненормальному. Нормальний режим спостерігається у 80% всіх випадків роботи приладу, ненормальний – у 20%. Ймовірність виходу з роботи приладу за час в нормальному режимі дорівнює 0,1, в ненормальному – 0,7. Знайти ймовірність виходу приладу з роботи.

Розв’язання.

Розглянемо дві гіпотези: – прилад працює в нормальному режимі, – прилад працює в ненормальному режимі. Відповідно ймовірності гіпотез дорівнюють: , . Ймовірність того, що прилад вийде з роботи за умови, що він працює в нормальному режимі . в ненормальному режимі – . Отже, ймовірність виходу приладу з роботи (подія ) за формулою повної ймовірності дорівнює

.

Задача 12. У коробці міститься 20 деталей, серед них 15 стандартних, в другій коробці – 30 деталей, серед них 27 стандартних, в третій коробці – 10 деталей, серед них 9 стандартних. Знайти ймовірність того, що навмання вийнята деталь з навмання обраної коробки буде стандартною.

Розв’язання.

Нехай подія – навмання вийнята деталь з навмання обраної коробки буде стандартною. Розглянемо гіпотези: , – обрана деталь з -ої коробки. Оскільки коробок три, то ймовірності введених гіпотез відповідно . Ймовірність того, що обрана стандартна деталь, за умови, що вона з першої коробки, , аналогічна ймовірність за умови, що стандартна деталь з другої коробки і з третьої коробки – . Тому ймовірність того, що навмання вийнята деталь з навмання обраної коробки буде стандартною за формулою повної ймовірності дорівнює

.

Задача 13. Нехай в умові попередньої задачі навмання вийнята деталь виявилася стандартною. Яка ймовірність того, що вийнята деталь з першої коробки?

Розв’язання.

В даній задачі необхідно знайти ймовірність гіпотези за умови, що обрана деталь виявилася стандартною, тобто . За формулою Байєса вказана ймовірність дорівнює

.