3) Определение расчетно-статистических характеристик.

а) Среднее арифметическое значение:

X_ср=∑(n_i·X_i^*)/N

n_i-частота каждого интервала ;

X_i^*-среднее арифметическое значение каждого интервала.

X_ср= 734,023/30=24,467 (мг/л).

Мода (значение имеющее максимальную частоту, то есть наиболее часто встречаемое значение случайной величины в выборке) определяется по формуле:

M₀=X₀+h·(n_i–n_(i-1))/(n_i–n_(i-1)+(n_i–n_(i+1)) (мг/л)

X₀-начало модального интервала ;

n_i-частота модального интервала:

n_(i-1) и n_(i+1)-соответственно частоты предыдущего и последующего за модальным

интервалов.

Модальным называется интервал с наибольшей частотой.

Медиана (определение серединного элемента выборки) определяется по формуле:

M_е=X₀+h·(N/2–T_(i-1))/n (мг/л)

X₀-начало медианного интервала;

T(i-1)-сумма частот интервалов предшествовавших медианному;

n_i-частота медианного интервала.

Меридианный интервал определяется по серединному элементу вариационного ряда. Если в вариационном ряду чётное количество интервалов, то нет серединного элемента. Необходимо определить два центральных элемента, найти среднее арифметическое, как их полу сумма. Полученное значение подставляется в границы интервалов.

M₀=22,096+3,094·(14-7)/((14-7)+(14-5))=23,449 (мг/л)

M_е=22,096+3,094·(15-7)/14=23,864 (мг/л)

б) Меры рассеивания и характеристики формы кривой распределения.

Z_i=(X_i^* - X_ср ).

	ni	Zi	Zi2	Zi3	Zi4	ni·Zi2	ni·Zi3	ni·Zi4
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	7	-3,9184	15,354	-60,164	235,749	107,479	-421,148	1650,243
2	14	-0,8249	0,681	-0,561	0,463	9,527	-7,854	6,482
3	5	2,2686	5,146	11,675	26,485	25,732	58,375	132,425
4	3	5,3621	28,752	154,169	826,664	86,255	462,507	2479,992
5	0	8,4556	71,497	604,544	5111,765	0	0	0
6	1	11,5491	133,381	1540,425	17790,475	133,381	1540,425	17790,475
∑	30				∑	362,374	1632,305	22059,620

Характеристикой рассеивания или отклонения случайной величины от центра распределения выступает дисперсия – второй центральный момент. Дисперсия определяется:

M₂=∑(X_i–X_ср)²/N (м/л)².

Для определения стандартного определения из дисперсии извлекается квадратный корень полученная величина называется средним квадратичным отклонением и обозначается δ(мг/л). Нормированное отклонение определяется коэффициентом вариации:

C_v=δ/X_ср.

Характеристиками формы кривых распределения выступают третий и четвёртый центральные моменты: третий центральный момент характеризует ассиметричность ряда, то есть неравномерность распределения случайной величины относительно центра и

определяется по формуле:

M₃=∑(X_i–X_ср)³/N (мг/л)³

Безразмерный коэффициент асимметрии (Cs) определяется отношением третьего центрального момента к кубу среднего квадратического отклонения. Четвёртый центральный момент характеризует форму симметричной кривой распределения:

M₄=∑(X_i–X_ср)⁴/N (мг/л)⁴

Показателем остро- или плосковершинности выступает коэффициент эксцесса (Се), который определяется отношением четвёртого центрального момента к среднему квадратичному отклонению в четвёртой степени за вычетом коэффициента три.

M_L=1/N·∑n_i·Z_i^L , L=2,3,4.

M ₂ = 1/30·362,374= 12,079 (м/л)²

δ = √M₂= √12,079 = 3,475 (мг/л).

C_v = δ/X_ср=3,475/24,467 = 0,142

M₃ = 1/30·1632,305= 54,41 (мг/л)³

C_s = (M₃/δ³) = 54,41/3,475³ = 1,297

M₄ = 1/30·22059,620= 735,321 (мг/л)⁴

C_е = (M₄/δ⁴)-3 = 735,321/3.475⁴-3 = 2,043