4).Изучение формы кривой распределения.

Так как коэффициент вариации C_v<33%, то ряд считается однородным.

Полученный коэффициент асимметрии Cs=1,297 (Cs>0) показывает на наличие правосторонней асимметрии:

M₀<M_е<X_ср; 23,499<23,863<24,467.

Оценка степени существенности асимметрии выборки:

W_Cs=√6(N-1)/((N+1)∙(N+3));

W_Cs= √ 6·(30-1)/((30+1)·(30+3)) = √0.17 = 0.41

|Cs|/W_Cs=1,297/0,41=3,16; (3,16>3)

Вывод: асимметрия существенна для выборки (так как Cs/W_Cs>3) и распределение признака генеральной совокупности не являетя симметричной

Оценка степени существенности эксцесса:

W_Cе=√24∙N∙(N-2)∙(N-3)/((N-1)²∙(N+3)∙(N+5));

W _Cе=√24·30(30-2)(30-3)/((30-1)²(30+3)(30+5)) = √0.56 = 0.74,

|Cе|/W_Cе = 2,043/0.75 = 2,728; (2,728<3);

Вывод: эксцесс не свойственен распределению признака в генеральной совокупности. Используем для анализа эмпирического материала кривую нормального закона распределения (кривая Гаусса).

5) Графическое изображение вариационного ряда.

Для графического изображения рядов распределения применяют гистограмму

(кривая распределения плотности вероятностей, дифференциальная кривая распределения).

n_пр – приведённая частота или плотность распределения случайной величины в заданном интервале.

n_отн – относительная частота определяется отношением эмпирической частоты к объёму выборки и характеризует вероятность появления случайной величины в каждом интервале.

n_отн=n_i/N n_пр=n_отн/h.

Определение ординат эмпирических кривых:

	Границы интервалов мг/л	Частота , ni	Относительная частота, nотн	Приведенная частота, nпр
1	2	3	4	5
1	19,00;22,096	7	0,233	0,075
2	22,096;25,189	14	0,467	0,151
3	25,189;28,283	5	0,167	0,54
4	28,283;31,376	3	0,1	0,032
5	31,376;34,47	0	0	0
6	34,47;37,56	1	0,033	0,011

Гистограмма

6) Проверка статистических гипотез

а) Проверка выборок на однородность.

В качестве примера использования статистических критериев однородности при практических расчетах студенты обмениваются выборками и проверяют их на однородность. Для расчетов используются критерии однородности: параметрический – критерий Фишера; непараметрический – критерий Вилкокcона.

Критерий Фишера основан на равенстве дисперсий выборок распределенных приближенно нормально. Расчетное значение критерия Фишера определяется по следующей формуле:

F_рас=D_y/D_x

D_x- дисперсия выборки X;

D_y- дисперсия выборки Y;

Для определения области допустимых значений необходимо задаться уровнем значимости и числом степеней свободы (для практических расчетов уровень значимости принимаем

равным 0,05), число степеней свободы рассчитывается по следующей зависимости:

m_x=N_x–1; m_y=N_y–1.

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х	19.00	19.64	20.16	20.26	20.47	20.52	20.58	22.12	22.42	22.71
№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Х	22.81	22.94	22.94	22.94	23.00	23.12	23.63	23.81	23.86	23.86
№	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Х	24.12	25.34	24.48	25.90	26.61	27.23	29.86	30.87	30.92	37.56

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Y	19.11	19.62	20.55	20.57	20.71	20.84	20.85	20.86	21.03	21.46
№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Y	21.57	21.62	22.32	22.87	23.44	23.52	23.92	23.96	24.37	24.51
№	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Y	25.09	26.20	27.70	28.22	28.68	28.71	30.22	30.28	31.11	33.00

D_y=13.91; D_x=12.05; α=0.05; m_x=30-1=29; m_y=30-1=29; F_рас=13.91/12.05 = 1.15

Полученное расчетное значение критерия Фишера не превышает критическое (F_кр=1.64). Исходя из этого, можно сделать вывод, что ряды однородны, и их можно объединить. Данное предположение проверим непараметрическим критерием однородности Вилкоксона.

1. Величины обеих выборок располагаются в порядке возрастания с учетом того, из какой выборки взято значение.

19,00 (X)	19,11 (Y)	19,62 (Y)	19,64 (X)	20,16 (X)	20,26 (X)	20,47 (X)	20,52 (X)	20,55 (Y)	20,57 (Y)
20,58 (X)	20,71 (Y)	20,84 (Y)	20,85 (Y)	20,86 (Y)	21,03 (Y)	21,46 (Y)	21,57 (Y)	21,62 (Y)	22,12 (X)
22,32 (Y)	22,42 (X)	22,71 (X)	22,81 (X)	22,87 (Y)	22,94 (X)	22,94 (X)	22,94 (X)	23,00 (X)	23,12 (X)
23,44 (Y)	23,52 (Y)	23,63 (X)	23,81 (X)	23,86 (X)	23,86 (X)	23,92 (Y)	23,96 (Y)	24,12 (X)	24,37 (Y)
24,51 (Y)	25,09 (Y)	25,34 (X)	25,48 (X)	25,90 (X)	26,20 (Y)	26,61 (X)	27,23 (X)	27,70 (Y)	28,22 (Y)
28,68 (Y)	28,71 (Y)	29,86 (X)	30,22 (Y)	30,28 (Y)	30,87 (X)	30,92 (X)	31,11 (Y)	33,00 (Y)	37,56 (X)

U=0+2+2+2+2+2+4+12+13+13+13+14+14+14+14+14+16+16+16+16+18+21+21+21+22+22+26+28+28+30=436

2. Определим расчетное и критическое значение критерия Вилкоксона:

В_рас=U- N_x ∙N_y /2=436- 29 ∙29 /2= 14;

Z _ = 1.96;

В _кр=Z_N_xN_y(N_x+N_y+1)/12 = 1.96∙ 29∙29∙(29+29+1)/12 = 132,57

Расчетное значение критерия Вилкоксона равно В_рас=14.

2₀Z_=1-0.05; ₀(Z_)=0.475;

По таблицам нормированной и центрированной кривой нормального распределения определяем аргумент по значению функции (Z_=1,96), критическое значение равно В_кр=132,57

Расчетное значение критерия Вилкоксона оказалось меньше критического. Принимаем нулевую гипотезу, которая подтверждает однородность сравниваемых совокупностей.

Использование критериев согласия преследует цель поиска закона распределения генеральной совокупности, которой принадлежит данная анализируемая выборка.

Цель расчетов заключается в следующем: с помощью критерия согласия Пирсона проверить принадлежность эмпирического материала нормальной кривой распределения (кривая Гаусса).

Как и при проверке однородности выдвигается нулевая гипотеза, но в данном случае она утверждает согласие значений выборки со значениями нормальной кривой распределения, т.е. при увеличении данных натурных наблюдений до бесконечности, распределение случайных чисел отвечает выбранному закону распределения. Расчет по критерию Пирсона основан на определении теоретической частоты в эмпирических интервалах, и если эмпирическая частота и теоретическая отличаются незначительно, то принимается нулевая гипотеза при выбранном уровне значимости и числе степеней свободы. Расчетная формула статистического критерия согласия Пирсона или χ² имеет вид:

χ²_рас=(n_i-n_t)²/n_t

n_i-эмпирическая частота;

n_t-теоретическая частота;