10. Свойства отношений: Еквивалентность. Рефлексивность. Примеры. Матрицы.

1. Рефлексивность.

Отношение R называется рефлексивным, если для любого аМ имеет место аRа. Главная диагональ его матрицы содержит только единицы.

Примеры:

Я живу в той же квартире, что и я.

В числе 1390 столько же цифр, сколько и в 1390.

Масштаб Лондона такой же, как и масштаб Лондона.

a =a -> a=a	1	2	3	4	5	6	7
1	1	0	0	0	0	0	0
2	0	1	0	0	0	0	0
3	0	0	1	0	0	0	0
4	0	0	0	1	0	0	0
5	0	0	0	0	1	0	0
6	0	0	0	0	0	1	0
7	0	0	0	0	0	0	1

2. Эквивалентность.

Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Три равных числа (a=b=c) (Каждое число равно самому себе – рефлексивность; если одно из чисел равно другому, то и другие равные ему числа будут равны этому числу – симметричность; если 1е число равно 2 числу, а 2е число равно 3му, то 1е число тоже равно 3му – транзитивность. )

Три горы одной высоты (Каждый гора одной и той же высоты сама с собой – рефлексивность; если 1я гора одной высоты со 2й горой, то остальные горы, которые одной высоты с 1й будут одной высоты и со 2й – симметричность; если 1я гора одной высоты со 2й, а вторая одной и той же высоты с 3й, то 1я тоже одной высоты с 3й – транзитивность.)

Три подруги-одногодки; (аналогично). На матрице, вроде (!!!!), одни единицы !!!

11. Анти-свойства и не-свойства. Примеры. Матрицы. Различия.

Отношение R называется антирефлексивным, если ни для одного из аМ не выполняется аRа. Если условие рефлексивности выполнено не для всех элементов множества  , говорят, что отношение   нерефлексивно.

Если антирефлексивное отношение задано матрицей, то все диагональные элементы являются нулевыми.

В математике бинарное отношение   на множестве   называется антисимметричным, если для каждой пары элементов множества   выполнение отношений   и    влечёт  . Бинарное отношение   на множестве   называется несимметричным, если для каждой пары элементов множества  одновременное выполнение отношений   и   невозможно.

Пример антисимметричного отношения – отношение : действительно, если а  в и в а, то а=в. Нетрудно убедится в том, что отношение R симметрично тогда и только тогда, когда R=R-1.

Отношение R называется антитранзитивным, если транзитивность отсутствует для любых троек элементов:

Антитранзитивное отношение — отношение победить в турнирах «на вылет»: если A победил игрока B, а B победил игрока C, то A не играл с C, следовательно, не мог его победить. Антитранзитивность совпадает с нетранзитивностью.

Антисимметричная:

1	2	3	4	5	6	7
0	1	1	1	1	1	1
-1	0	1	1	1	1	1
-1	-1	0	1	1	1	1
-1	-1	-1	0	1	1	1
-1	-1	-1	-1	0	1	1
-1	-1	-1	-1	-1	0	1
-1	-1	-1	-1	-1	-1	0