Теорема косинусов.
1. Стороны треугольника равны 13, 14, 15. Найдите косинус большего угла треугольника.
.
2. Стороны треугольника равны 13, 14, 15.Найти косинус меньшего угла треугольника.
.
3. Вершина А равностороннего треугольника АВС соединена с точкой Д, делящей сторону ВС на отрезки ВД = 1 и ДС = 2. Определить отрезок АД.
4. В треугольнике даны стороны а =
,
b =
.
Угол С, противолежащий третьей стороне,
равен 600. Найти третью сторону.
3.
5. Дан треугольник АВС.
А
= 1200. АС = 3, АВ = 2. Найти квадрат
стороны ВС.
19.
6. Найти сторону треугольника, лежащую против угла 1200, если две другие стороны равны 6см и 10см.
14см.
7. Найти сторону треугольника, лежащую
против угла 1350, если две другие
стороны равны
см и 3см.
см.
8. Стороны параллелограмма 4см и 5см, острый угол равен 600. Найти диагональ параллелограмма, соединяющую вершины острых углов.
см.
9. Угол М при основании трапеции МКРТ равен 450, МК = 6 , МТ = 10, КР = 4. Найти сумму квадратов диагоналей трапеции.
188.
10. Внутри острого угла, равного
,
взята точка М, удалённая от его сторон
на расстояния
k и n. Найти расстояние от вершины угла до точки М.
.
Теорема синусов.
1. Стороны треугольника равна 2, прилежащие к ней углы равны 300 и 450. Найдите остальные стороны треугольника.
.
2. В треугольнике АВС АС = 1,
Найдите сторону ВС.
.
3. В треугольнике АВС величина угла А вдвое больше угла В, а длины сторон, противолежащих этим углам, равны соответственно 12см и 8см. Найти длину третьей стороны треугольника.
10см.
4. В треугольнике АВС известно, что
,
АК – биссектриса. Найти ВК.
.
5. Дан треугольник АВС.
.Найти
АС.
12.
6. В прямоугольном треугольнике АВС
СК
– биссектриса,
.
Найти АК.
7. Дан треугольник АВС.
АС
= 9, ВС = 6. Найти
.
.
8. Дан треугольник АВС.
,
ВС = 6. Найдите радиус описанной окружности.
6.
9. Дан остроугольный треугольник АВС.
ВН – высота.
.
Найти АС.
.
10. В треугольнике АВС
.
Найти отношение
.
11. В треугольнике АВС
.
Найти отношение
.
12. В треугольнике ЕНF
НЕ
= НF. Радиус описанной
около треугольника окружности равен
. Найти сторону ЕF.
3.
13. Дан треугольник АВС АВ =
.Найти
радиус окружности, описанной около
этого треугольника.
2.
14. Найти боковую сторону равнобедренного треугольника АВС, если угол при основании равен 300 и высота , опущенная на боковую сторону, равна3.
.
15. Дан треугольник АВС АВ = 4,
.
Найти АС.
.
16. Дан треугольник АВС. АВ = 6, АС = 10, . Найдите площадь треугольника АВС.
15.
17. Диагональ параллелограмма делит его угол на части в 600 и 450. Найдите отношение сторон параллелограмма.
.
18. Диагональ равнобедренной трапеции равна 75см и делит тупой угол на части 300 и 900. Определите боковую сторону трапеции.
25 см.
19. Периметр треугольника АВС равен 24, sinA:sinB:sinC = 3:4:5. Найдите длину наибольшей стороны треугольника.
10
20. В треугольнике АВС АВ = 5см, ВС = 7см. Найдите отношение синуса угла А к синусу угла С.
.
21. Найдите стороны параллелограмма, если его диагональ длиной 20см образует со сторонами углы 900 и 300.
22. В треугольнике АВС
.
Найдите отношение ВС кАС.
9:2.
Подтема 04: Теорема о трёх перпендикулярах.
1. Через вершину А прямоугольника АВСД проведена прямая АК, перпендикулярная его плоскости. Расстояние от точки К до других вершин прямоугольника равны 12м, 14м, 18м. Найдите отрезок АК.
4м.
2. Отрезок АD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. АВ = АС = 10см, ВС = 12см, АD = 6см. Найти расстояние от точки D до ВС.
10см.
3. Через вершину прямоугольника АВСD
проведена прямая АК, перпендикулярная
к плоскости прямоугольника. КD
= 4
,
КВ = 5, КС = 13. Найти АК.
4.
4. Вершина треугольной пирамиды с высотой 12см проектируется в центр вписанной в основание окружности радиуса 5см. Найти площадь боковой грани с основанием 10см.
65см2
Метод координат и векторы на плоскости. Координатный способ и векторы на пространстве.
Координаты вектора.
1. Даны векторы:
( 3;-2) и
(-3;4).
Найти координаты вектора 2
.
(15;-16).
2. Векторы
совпадают со сторонами треугольника.
Определить координаты вектора медианы
АК1.
.
3. На плоскости даны два вектора
.
Найти коэффициенты разложения вектора
по векторам
и
.
4. Найти координаты начала вектора
,
если концом его является точка В( 1;-1;2).
(-1;2;3).
5. Найти
и
,
при которых векторы
и
коллинеарны.
.
6. Найти координаты конца вектора
,
если его начало совпадает с точкой
А(5;4;-1).
( 3;5;2)
7. Вектор
равен сумме векторов
и
при :
m = 3,6; n = -4.
8. Перпендикулярным вектору
является вектор :
.
Уравнение прямой.
1. Написать уравнение прямой, проходящей через точкиА( -1;1) и В(2;5).
4х – 3у + 7 = 0
2. На прямой х +2у -1 = 0 найти точку равноудалённую от точек (-2;5) и (0;1).
(-3;2).
3. Уравнение прямой, проходящей через точку А(9;3) и перпендикулярной оси ОХ, имеет вид:
х = 9.
4. Уравнение прямой, проходящей через точку А (-3;10) и перпендикулярной оси ОY, имеет вид:
у = 10.
5. Дан треугольник АВС; А(2;-6), В(4;2), С(0;-4).Уравнение прямой, содержащей среднюю линию треугольника АВС, которая параллельна стороне АС, имеет вид:
у = -х + 1.
6. Найдите площадь треугольника, ограниченного линиями: у = х – 2;у = -х – 2; у = 0.
4.
7. Найдите площадь треугольника, ограниченного линиями: у = х – 3; у = -х + 3; х = 0.
9.
8. Расстояние от точки пересечения прямых 4х + 3у – 6 = 0 и 2х + у – 4 = 0 до оси ОХ равно:
2.
9. Расстояние от точки пересечения прямых 4х + 3у – 6 = 0 и 2х + у – 4 = 0 до начала координат равно:
.
10. В треугольнике АВС, с вершинами А( 1;3); В( 5;-7); С( -1;9),уравнение прямой, содержащей медиану ВМ, имеет вид:
5у + 13х – 30 = 0.
11. На отрезке прямой
,
отсекаемом осями координат, количество
точек с целыми координатами равно:
2.
12. Уравнение прямой, проходящей через точку М(7;-11) и параллельно прямой у = -2х + 5, имеет вид:
у = -2х + 3.
13. Если прямая проходит через точки
А(2;3) и В(3;2) , то сумма коэффициентов
и
в уравнении
равна:
.
14. Составить уравнение прямой, содержащей медиану АК треугольника АВС с вершинами: А(1;3), В(5;-7), С(-1;9).
у = -2х + 5.
15. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А(1;-1) и В( 2;3).
4.
17. Найдите уравнение прямой, параллельной прямой у – 2х + 5 = 0 и проходящей через точку А( 3;-1).
У = 2х – 7.
18. При каком k точки А( 2;1), В( 3;-2), С( 0;k) лежат на одной прямой?
7.