5. Логарифмическое дифференцирование

Логарифмической производной функции y = называется производная от логарифма этой функции, т.е. . Пусть f(x)>0 на некотором множестве значений аргумента и дифференцируема на этом множестве. Тогда по формуле (2) для производной сложной функции

откуда

f΄(x)=f(x)(ln f(x))΄ . (3)

Последовательное применение логарифмирования и дифференцирования функций называют логарифмическим дифференцированием, а формулу (3) – формулой логарифмического дифференцирования.

Эту формулу удобно использовать в тех случаях, когда производную натурального логарифма функции найти проще, чем производную самой функции. Например, при дифференцировании показательно-степенной функции y= , где и  дифференцируемые в точке функции. Показательно-степенную функцию можно представить в виде

,

а затем дифференцировать ее как сложную функцию:

Пример 12.

Найти производную функции .

Решение.

Логарифмируя обе части равенства , получим:

.

Продифференцируем обе части последнего равенства по х:

. (*)

Согласно правилу дифференцирования сложной функциии (формула (2)):

.

Производную левой части равенства найдем, пользуясь правилами дифференцирования произведения функций и сложной функции:

подставляя найденные производные в равенство (*), получим:

,

откуда окончательно имеем

Кроме того, метод логарифмического дифференцирования можно применять для нахождения производных дробно-иррациональных функций.

Пример 13.

Найти производную функции .

Решение.

Производная этой функции была найдена в примере 11 путем непосредственного применения правил дифференцирования. Покажем, что использование метода логарифмического дифференцирования позволяет избежать громоздких вычислений.

Перепишем функцию в виде и

прологарифмируем обе части этого равенства:

.

Пользуясь формулами для логарифма частного и степени правую часть равенства можно преобразовать:

.

Следовательно

.

Далее продифференцируем обе части полученного равенства:

,

,

отсюда, с учетом того, что находим:

6. Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к кривой

Пусть  дифференцируемая в точке x₀ функция, M₀  точка на графике этой функции с координатами x₀ и y₀= f(x₀),  угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке M₀,  угол наклона касательной к оси абсцисс (рис 1а).

Геометрический смысл производной состоит в том, что угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в данной точке, равен значению производной функции в этой точке, т.е.

f (x₀) = k.

Уравнение касательной к графику функции в точке M₀ имеет вид

.

Прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания, называется нормалью к графику функции в этой точке.

Уравнение нормали к графику функции в точке M₀(x₀ , y₀) имеет вид

.

Пример 14. Найти уравнения касательной и нормали к параболе y = x² в точке с абсциссой 2.

Решение. Пусть x₀ = 2, f(x) = x² . Тогда , f(x₀) = 4, f(x) = 2x, f(x₀) = 4. По формуле (5) получаем уравнение касательной:

y – 4 = 4(x – 2) или y  4x + 4 = 0.

По формуле (6) получаем уравнение нормали:

4(y – 4) + x – 2 = 0 или x + 4 y  18 = 0.

Замечание. Пусть =+∞ (или – ∞). Тогда касательная к графику функции в точке M₀ параллельна оси Оу, а уравнение касательной имеет вид х=x₀ (рис.1б).

Замечание. Если =0, то касательная к графику функции в точке M₀ параллельна оси Ох (рис.1в).