10.Емпірична функція розподілу. Асимптотичні властивості.

Нехай - невідома функція.

- емпірична функція розподілу.

Дискретна статистична таблиця, прикладn=20

Інтервальна статистична таблиця

Асимптотичні властивості емпіричної функції розподілу

Теорема1(Глівенко):

Теорема2(Колмогорова):

11.Гістограма

Дискретний статистичний розподіл вибірки можна зобразити графічно у вигляді ламаної лінії, відрізки якої сполучають координати точок (x_i;n_i), або (x_i;W_i).

У першому випадку ламану лінію називають полігоном частот, у другому — полігоном відносних частот.

Гістограма частот та відносних частот. Гістограма частот являє собою фігуру, яка складається з прямокутників, кожний з яких має основу h і висотy .

Гістограма відносних частот є фігурою, що складається з прямокутників, кожний з яких має основу завдовжки h і висоту, що дорівнює .

Площа гістограми частот

Площа гістограми відносних частот .

12.Порядкові статистики.

- k-та порядкова статистика

;

;

;

,

;

Теорема:

, k=1,2,…,n+1

,

13.Вибіркові математичне сподівання та дисперсія.

Нехай - k-й момент випадкової величини, тобто .

Вибірковим моментом k-го порядку називають статистику .

При k =1 величину наз. вибірковим середнім і позначають .

Якщо - реалізація вибірки , то через будемо позначати середнє арифметичне , а через .

Через . Аналогічно, вибірковим центральним моментом k-го порядку називають випадкову величину .

При k =2 величину називають вибіркову дисперсією і позначають символом .

Якщо , то являються незміщеною, сильно спроможною , а якщо , то асимптотично нормальною оцінкою математичного сподівання (у цьому випадку ).

Зауважимо, що . Перевіримо, чи буде незміщеною оцінка дисперсії:

Тут використовувалась рівність . Отже, є незміщеною оцінкою дисперсії. Нехай , тоді . Тобто є незміщеною оцінкою дисперсії. При цьому вона буде і сильно спроможною оцінкою.

Якщо математичне сподівання відоме , то незміщеною, сильно спроможною і асимптотично нормальною оцінкою дисперсії є оцінка .

При дослідженні властивостей графіка щільності розподілу неперервної випадкової величини часто розглядають такі характеристики як коефіцієнти асиметрії і ексцесу : .

Якщо графік щільності розподілу симетричний відносно математичного сподівання, то . Наприклад, для нормального розподілу . При симетрія порушена вправо, а при - вліво.

Аналогічно, для нормального розподілу . Якщо для деякого розподілу , то кажуть, що він має нормальний ексцес. При , вважають,що ексцес додатній(від’ємний ). Відповідні вибіркові коефіцієнти асиметрії та ексцесу визначаються по формулам: .

14.Мода та медіана.

Медіана Величина називається медіаною. для випадкової величини , якщо

Оцінка медіани Ме

1. Для дискретних статистичних рядів:

	1	2	3	7
	4	6	10	20

2. Для інтервальних статистичних рядів:

	[0,2]	[2,6]	[6,10]
	10	20	6

n=36

Мода— найбільш популярне число вибірки.

1) Для дискретного статистичного ряду:

	1	3	5	7
	4	10	20	10

	1	3	5	7
	4	10	20	20

2) Для інтервального статистичного ряду:

,

	[0,2)	[2,6)	[6,10)
	10	20	6