21. Надійні інтервали. Побудова асимптотичних надійних інтервалів. Приклад.

Надійні інтервали:

- вип. вел.

– надійним інтервалом для θ наз. такий інтервал , що

- наперед задана ймовірність

- деякі функції від вибірки

,

Асимптотично найкоротший надійний інтервал

Нехай - оцінка методу максимальної правдоподібності

Значення

розв’яжемо цю нерівність відносно

асимпт. найкор. інтервал

Пуассонівський розподіл:

Біноміальний розподіл:

Нехайn=100, x=40,

22. Надійні інтервали для параметрів нормального розподілу у випадку, коли один з параметрів відомий.

,

1. - відомий, - найкраща оцінка парам а, а – невід;

2. а – відоме, - невідомий.

n – кількість спостережень, розподіл з n ступенями волі.

23.Теорема про незалежність вибіркових середнього та дисперсій для нормального розподілу.

Лема1. Нехай

Нехай є матриця С n*n. Ця матриця ортогональна

Тоді

Доведення.

Характеристичні функції

Оскільки то вони ідентичні.

Лема2.

і ця величина не залежить від виразу

Доведення.

• Не залежить від

Теорема. Нехай вип..вел. . - векторн.спостер., то статистики незалежні між собою, а

Доведення. Доведемо для N(0,1).

Побуд.

24.Надійні інтервали для параметрів нормального розподілу у випадку, коли обидва параметри невідомі.

Лемма 1:

_,

_{Розглянемо ортогональну матрицю .}

_,

_{Для доведення аналогічне.}

_{Лемма 2}

_{, r<n і не залежить від .}

_{Теорема Фішера:}

_Нехай

_{Тоді: і незалежні між собою.}

Доведемо для а=0,

Розглянемо матриці виду:

Отже, не залежить від .

3) Отже, третій випадок: -невідомі. а-?

4) Отже, четвертий випадок: -невідомі. -?

25.Критерій x2

Нехай задані спостереження:

Теорема:

. Доведення:

Якщо недіагональні вектори не =0, то компоненти залежні:

Отже,

Доведено.

Побудова критерію:

1)Наперед задається α.

2)За допомогою таблиць визначається значення величини

3) Якщо і

_{Зауваження:} Якщо функція розподілу містить невідомий параметр, то замість параметра підставляємо оцінки:

26.Критерій Xдля перевірки незалежності та однорідності. Критерій однорідності

Цей критерій можна використовувати для перевірки даних, що мають дискретну структуру. Окрім того,за допомогою цього критерію можна перевіряти однорідність будь-якого скінченного числа вибірок. Нехай проведено kпослідовних серій незалежних спостережень, які складаються з спостережень. При цьому в кожному експерименті може виникнути один з наслідків, _ij— число виникнень i-го наслідку в j-й серії. — загальна кількість об’єм спостережень. Потрібно перевірити гіпотезу H₀ про те, що всі спостереження проводилися над однією і тією ж величиною. Статистикою критерію є величина :

У таблиці - розподілу за даними і числом степенів свободи m=(l-1)(k-1) знаходимо число . Якщо то гіпотеза відхиляється, якщо ж то гіпотеза приймається.

Критерій незалежності

Критерій дає змогу перевіряти також гіпотезу про незалежність двох випадкових величин та . Статистикою критерію є величина

де v_ij— число випадків, коли одночасно спостерігалися =x_i та =y_j (для неперервних випадкових величин i та j — номери відповідних інтервалів),

і — число значень, яких набувають випадкові величини та ; — обсяг вибірки. Вибір табличного значення і прийняття рішення проводиться аналогічно описаній вище процедурі для критерію однорідності