18. Логарифмические неравенства, основные способы решения.

 Неравенства вида log_ax>b (log_ax≥b) или log_ax<b (log_ax≤b), где a>0, a≠1, называются простейшими логарифмическими неравенствами.

        Решение логарифмических неравенств основано на строгой монотонности логарифмической функции. Известно, что

o       при основании, большем единицы, логарифмическая функция возрастает,

o       при положительном основании, меньшем единицы, логарифмическая функция убывает.

        Неравенство вида

эквивалентно следующим системам неравенств

o                       при a>1      f(x)>0,  f(x)>a^b;

o                       при 0<a<1    f(x)>0,  f(x)<a^b.

        Неравенство вида

эквивалентно следующим системам неравенств

o       при a>1      f(x)>0,  f(x)<a^b;

o       при 0<a<1    f(x)>0,  f(x)>a^b.

 Пример. Решить неравенство log₈(x²-4x+3)<1.

Решение. Так как основание логарифма больше единицы (а=8), то данное неравенство эквивалентно системе:

 или  .

Каждое неравенство решим методом интервалов.

х²-4x+3=0 при х₁=1,  х₂=3. Определяя знаки, получим:

х²-4x-5=0 при х₁=-1,  х₂=5. Определяя знаки, получим

Совмещая промежутки, имеем:

Таким образом,  .

Ответ:  .

         Неравенство вида

эквивалентно следующим системам неравенств:

o                       при a>1      f(x)>0,  g(x)>0,  f(x)>g(x);

o                       при 0<a<1    f(x)>0, g(x)>0,   f(x)<g(x).

        Неравенство вида

эквивалентно следующим системам неравенств

o       при a>1      f(x)>0,  g(x)>0,  f(x)<g(x);

o       при 0<a<1    f(x)>0,  g(x)>0,  f(x)>g(x).

Пример. Решить неравенство:

.

Решение. Основание логарифмической функции меньше 1 (a=0,2). Поэтому, выписывая области определения выражений левой и правой частей неравенства и пользуясь свойством монотонности, получим равносильную систему:

.

Решение неравенств второй степени методом интервалов:

Совмещая промежутки, получим:

Ответ: (-2;1).

         Более сложные логарифмические неравенства сводятся к простейшим методами, аналогичными используемым при решении логарифмических уравнений.

Пример 1. Решить неравенство:

.

Решение. Переходя  к основанию 2 в выражении, стоящем в правой части данного неравенства, получим:

Теперь перейдем к равносильной системе:

Решение встречающихся квадратичных неравенств провели методом интервалов:

Совмещая промежутки, получим  .

Ответ: (0; 2).

        Если в неравенстве встречается логарифмическая функция, содержащая неизвестное в основании, то, как правило, следует рассматривать два случая:

o       когда основание больше 1

o       когда основание положительно, но меньше 1.

        Неравенство с переменным основанием можно также решать, используя формулы перехода к новому, не содержащему неизвестное, основанию.