28. Преобразование произведения одноименных тригонометрических функций в сумму и разность

, , .

Первая формула получается сложением формул синуса суммы и синуса разности, в каждой из которых левую и правую часть поменяем местами:

,  ,  , .

Вторая формула получается сложением, а третья — вычитанием следующих равенств (формул сложения для косинуса):

,  , ,  .

Окончательно:

,  .

Применение этих формул иногда упрощает преобразование тригонометрического выражения.

29. Простейшие тригонометрические уравнения y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x.

Уравнение sin x = a

Условия:

1) | a | ≤ 1

2) при | a | > 1 уравнение sin x = a не имеет решения среди действительных чисел.

 

Формула решения уравнения sin x = a:

x = (-1)n · arcsin α + πn  где n – любое целое число (n ∈ Z).

 

Частные случаи, когда уравнение sin x = а имеет более простое решение:

Если…	То…
sin x = 0	x = πn
sin x = 1	x = π/2 +2πn
sin x = –1	x = –π/2 +2πn

 

Уравнение cos x = a

Условия:

1) | a | ≤ 1

2) при | a | > 1 уравнение sin x = a не имеет решения среди действительных чисел.

Формула решения уравнения cos x = a:

x = ± arccos α + 2πk  где k – любое целое число (k ∈ Z).

  Частные случаи, когда уравнение cos x = а имеет более простое решение:

Если…	То…
cos x = 0	π                                               x = —  +  πk                                                      2
cos x = 1	x = 2πk
cos x = –1	x = π + 2πk

 

Уравнения tg x = a и ctg x = a.

Формула решения уравнения tg x = a:

x = arctg a + πk  где a – любое действительное число (a ∈ R), k – любое целое число (k ∈ Z).

 

Формула решения уравнения ctg x = a:

x = arcctg a + πk где a – любое действительное число (a ∈ R), k – любое целое число (k ∈ Z).

 

30. Простейшие тригонометрические неравенства.

1. Неравенство, в котором неизвестная переменная находится под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим неравенством.

2. К простейшим тригонометрически неравенствам относятся следующие 16 неравенств:  sin x > a,     sin x ≥ a,     sin x < a,     sin x ≤ a,  cos x > a,     cos x ≥ a,     cos x < a,     cos x ≤ a,  tan x > a,     tan x ≥ a,     tan x < a,     tan x ≤ a,  cot x > a,     cot x ≥ a,     cot x < a,     cot x ≤ a.  Здесь x является неизвестной переменной, a может быть любым действительным числом.

   Неравенства вида   sin x > a,   sin x ≥ a,   sin x < a,   sin x ≤ a

 Неравенство sin x > a

3. При a ≥ 1 неравенство sin x > a не имеет решений:  x ∈ ∅

4. При a < −1 решением неравенства sin x > a является любое действительное число:  x ∈ ℜ

5. При −1 ≤ a < 1 решение неравенства sin x > a выражается в виде  arcsin a + 2πn < x < π − arcsin a + 2πn,  n ∈ Z  (рис.1). 

   Неравенство sin x ≥ a

6. При a > 1 неравенство sin x ≥ a не имеет решений:  x ∈ ∅

7. При a ≤ −1 решением неравенства sin x ≥ a является любое действительное число:  x ∈ ℜ

8. Случай a = 1  x = π/2 + 2πn,  n ∈ Z

9. При −1 < a < 1 решение нестрогого неравенства sin x ≥ a включает граничные углы и имеет вид  arcsin a + 2πn ≤ x ≤ π − arcsin a + 2πn,  n ∈ Z  (рис.1). 

   Неравенство sin x < a

10. При a > 1 решением неравенства sin x < a является любое действительное число:  x ∈ ℜ

11. При a ≤ −1 у неравенства sin x < a решений нет:  x ∈ ∅

12. При −1 < a ≤ 1 решение неравенства sin x < a лежит в интервале  − π − arcsin a + 2πn < x < arcsin a + 2πn,  n ∈ Z   (рис.2). 

   Неравенство sin x ≤ a

13. При a ≥ 1 решением неравенства sin x ≤ a является любое действительное число:  x ∈ ℜ

14. При a < −1 неравенства sin x ≤ a решений не имеет:  x ∈ ∅

15. Случай a = −1  x = − π/2 + 2πn,  n ∈ Z

16. При −1 < a < 1 решение нестрогого неравенства sin x ≤ a находится в интервале  − π − arcsin a + 2πn ≤ x ≤ arcsin a + 2πn,  n ∈ Z   

   Неравенства вида   cos x > a,   cos x ≥ a,   cos x < a,   cos x ≤ a

   Неравенство cos x > a

17. При a ≥ 1 неравенство cos x > a не имеет решений:  x ∈ ∅

18. При a < −1 решением неравенства cos x > a является любое действительное число:  x ∈ ℜ

19. При −1 ≤ a < 1 решение неравенства cos x > a имеет вид  − arccos a + 2πn < x < arccos a + 2πn,  n ∈ Z  (рис.3). 

   Неравенство cos x ≥ a

20. При a > 1 неравенство cos x ≥ a не имеет решений:  x ∈ ∅

21. При a ≤ −1 решением неравенства cos x ≥ a является любое действительное число:  x ∈ ℜ

22. Случай a = 1  x = 2πn,  n ∈ Z

23. При −1 < a < 1 решение нестрогого неравенства cos x ≥ a выражается формулой  − arccos a + 2πn ≤ x ≤ arccos a + 2πn,  n ∈ Z  (рис.3). 

   Неравенство cos x < a

24. При a > 1 неравенство cos x < a справедливо при любом действительном значении x:  x ∈ ℜ

25. При a ≤ −1 неравенство cos x < a не имеет решений:  x ∈ ∅

26. При −1 < a ≤ 1 решение неравенства cos x < a записывается в виде  arccos a + 2πn < x < 2π − arccos a + 2πn,  n ∈ Z  (рис.4). 

   Неравенство cos x ≤ a

27. При a ≥ 1 решением неравенства cos x ≤ a является любое действительное число:  x ∈ ℜ

28. При a < −1 неравенство cos x ≤ a не имеет решений:  x ∈ ∅

29. Случай a = −1  x = π + 2πn,  n ∈ Z

30. При −1 < a < 1 решение нестрогого неравенства cos x ≤ a записывается как  arccos a + 2πn ≤ x ≤ 2π − arccos a + 2πn,  n ∈ Z  

   Неравенства вида   tan x > a,   tan x ≥ a,   tan x < a,   tan x ≤ a

   Неравенство tan x > a

31. При любом действительном значении a решение строгого неравенства tan x > a имеет вид  arctan a + πn < x < π/2 + πn,  n ∈ Z  (рис.5). 

   Неравенство tan x ≥ a

32. Для любого значения a решение неравенства tan x ≥ a выражается в виде  arctan a + πn ≤ x < π/2 + πn,  n ∈ Z  (рис.5). 

   Неравенство tan x < a

33. Для любого значения a решение неравенства tan x < a записывается в виде  − π/2 + πn < x < arctan a + πn,  n ∈ Z  (рис.6). 

   Неравенство tan x ≤ a

34. При любом a неравенство tan x ≤ a имеет следующее решение:  − π/2 + πn < x ≤ arctan a + πn,  n ∈ Z  

   Неравенства вида   cot x > a,   cot x ≥ a,   cot x < a,   cot x ≤ a

   Неравенство cot x > a

35. При любом a решение неравенства cot x > a имеет вид  πn < x < arccot a + πn,  n ∈ Z  (рис.7). 

   Неравенство cot x ≥ a

36. Нестрогое неравенство cot x ≥a имеет аналогичное решение  πn < x ≤ arccot a + πn,  n ∈ Z  

   Неравенство cot x < a

37. Для любого значения a решение неравенства cot x < a лежит в открытом интервале  arccot a + πn < x < π + πn,  n ∈ Z  (рис.8). 

   Неравенство cot x ≤ a

38. При любом a решение нестрогого неравенства cot x ≤ a находится в полуоткрытом интервале  arccot a + πn ≤ x < π + πn,  n ∈ Z  

Экзамен 1 сессия групп

2014-2015 гг.