26. Тригонометрические функции двойного, половинного аргумента.

1. Тригонометрические функции двойного аргумента:

 

2. Формулы понижения степени:

 

3. Тригонометрические функции половинного аргумента:

27. Преобразование суммы и разности одноименных тригонометрических функций в произведение.

1. Сумма синусов 

2. Разность синусов 

3. Сумма косинусов 

4. Разность косинусов 

5. Сумма тангенсов 

6. Разность тангенсов 

7. Сумма котангенсов 

8. Разность котангенсов 

1) Объясним первую формулу:

                                  x + y            x – y sin x + sin y = 2 sin ———  cos ———                                      2                  2

Она поучена из формул синуса сложения и разности аргументов:

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α – β) = sin α cos β – sin β cos α.

Сложим две формулы:

sin (α + β) + sin (α – β) = sin α cos β + sin β cos α + sin α cos β – sin β cos α = 2 sin α cos β.

Таким образом,

sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β.

К этой формуле вернемся в конце наших вычислений.

Теперь введем новые переменные:

вместо α + β напишем х,

вместо α – β напишем у.

Тогда:

sin х + sin у = 2 sin α cos β.

В то же время, введя новую переменную, мы получили систему уравнений. Решим ее методом алгебраического сложения:

│α + β = х │α – β = у

 

│α + β + α – β = х + у │α + β – α + β = х – у

 

│2α = х + у │2β = х – у

│         х + у │α = ——— │           2 │ │          х – у │ β = ——— │            2

Вернемся к полученной нами сумме двух формул сложения аргументов: sin х + sin у = 2 sin α cos β. Осталось подставить в них полученные значения α и β, чтобы в итоге получить нашу формулу:

                                   x + y             x – y sin x + sin y = 2 sin ———  cos ———                                      2                  2

2) Вторая формула из таблицы логически вытекает из первой и доказывается просто.

Вспомним свойство нечетности синуса: sin (–y) = –sin y.

Из этого следует, что sin x – sin y = sin x + (–sin y). Следовательно:

                                      x + (–y)             x – (–y)                х – у           х + у sin x + (–sin y) = 2 sin ————  cos ———— = 2 sin ——— cos ———.                                             2                      2                         2                 2

Таким образом:

                                   x – y             x + y sin x – sin y = 2 sin ———  cos ———                                      2                  2

 

Аналогично преобразуются в произведение суммы косинусов.

Преобразуем еще суммы тангенсов и котангенсов. Порядок прост: представляем тангенсы и котангенсы как отношение синусов и косинусов, находим для полученных дробей общий знаменатель и применяем формулы сложения. То есть совершаем всего три действия:

                      sin x          sin y            sin x cos y + cos x sin y              sin (x + y) tg x + tg y = ——— + ———  =  ————————————  =  ——————                       cos x         cos y                   cos x cos y                            cos x cos y

 

                         cos x         cos y             cos x sin y + sin x cos y               sin (x + y)

ctg x + ctg y = ——— + ———  =  ————————————  =  ——————                          sin x         sin y                      sin x sin y                             sin x sin y     

Преобразование разностей в произведение осуществляется таким же образом.