Контрольные вопросы и задания

1. Дайте характеристику ТП сельскохозяйственного производства. 2. Назовите виды воздействий на объект управления. 3. Изложите структуру и принципы управления ТП. 4. Каковы особенности автоматизации сельскохозяйственного производства? 5. Назовите типовые технические решения при автоматизации ТП.

Глава 3 статика и динамика технологических объектов управления

3.1 Основные понятия математического моделирования

Для создания автоматических СУ необходимо располагать математическим описанием процессов, происходящих как в самой системе, так и в ее элементах.

Под математическим описанием (математической моделью) подразумевается совокупность уравнений и граничных условий, описывающих зависимость выходных величин от входных в установившемся и переходном режимах. В связи с этим различают две группы математических моделей:

установившегося режима (модель статики);

переходного режима (модель динамики).

Вначале рассмотрим модели динамики. Они имеют вид уравнений, описывающих изменение во времени выходных величин систем (элементов) в зависимости от изменения входных. Такой режим (процесс) функционирования системы называют переходным и описывают дифференциальными или интегрально-дифференциальными уравнениями.

Частный случай переходного режима — установившийся, характеризуемый независимостью входных и выходных координат от времени. Этот режим описывается дифференциальными уравнениями нулевого порядка, т. е. алгебраическими уравнениями, получаемыми из уравнений динамики приравниванием к нулю всех производных по времени.

Таким образом, в общем случае математической моделью системы (элемента) с т входными и n выходными координатами называют совокупность уравнений , однозначно описывающих поведение при данных векторах и , где — вектор, характеризующий конструктивно-технологические характеристики системы (элемента).

Кроме математических существуют физические (электрические, гидравлические и др.) модели, но в любом случае подобие модели и оригинала основано на идентичности математического описания процессов в модели и оригинале.

Например, зависимости для расчета теплового потока , силы трения и силы тока , характеризующие разные по физической природе явления, описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями.

Математическая модель может быть получена аналитическим или экспериментальным методами. В последнем случае она может быть детерминированной, когда выходная величина однозначно определяется входной, или статистической, когда входные воздействия — случайные величины.

3.2 Математические модели установившегося и переходного режимов и методы их линеаризации

Напомним, что математическая модель установившегося режима (иначе — статическая характеристика элемента или системы) отражает функциональную связь между входными и выходными величинами в установившемся состоянии, а математическая модель переходного режима (динамическая характеристика элемента или системы) описывает изменение выходной величины во времени в зависимости от изменения входной величины.

Как уравнения статики, так и уравнения динамики могут быть линейными или нелинейными, в последнем случае они подлежат линеаризации.

Л

(3.1)

инеаризация уравнений динамики. Итак, в общем случае при наличии одной выходной (у) и нескольких входных величин (х) динамика элемента (системы) описывается дифференциальным уравнением (для двух х₁ и х₂)

,

где F — некоторая нелинейная функция; n, т, l — целые натуральные числа, определяющие наивысший порядок входящих в уравнение производных входной и выходной величин по времени.

Для реальных систем порядок дифференциального уравнения n > т и n > l. Линеаризацию нелинейных дифференциальных уравнений осуществляют методом малых отклонений. При этом вместо абсолютного значения переменных в уравнении (3.1) используют их отклонения от начального значения

.

В результате уравнение (3.1) становится линейным и при одной входной величине может быть записано в виде

,

где a₀… a_n , b₀… b_m - постоянные коэффициенты.

Линеаризация уравнений статики. Уравнения статики элементов (систем) автоматического управления, как правило, нелинейные и могут быть представлены в виде кривой или ломаной линии.

Линеаризация нелинейных статических характеристик осуществляется несколькими способами.

Метод малых отклонений. Основан на разложении аналитической функции в ряд Тейлора и отбрасывании малозначащих членов.

Таким образом, линеаризованное уравнение , где ; .

Метод касательной (рис. 3.1, а). Основан на замене участка кривой прямой линией, касательной к этой кривой в точке А (х₀, у₀), называемой рабочей точкой и находящейся в середине рабочего диапазона изменения . Как и в предыдущем случае, линеаризованное уравнение , где .

Метод секущей. Основан на замене уравнения нелинейной характеристики уравнением секущей, параметры которого определяют методом наименьших квадратов.

Первый из рассмотренных методов применяют, когда статическая характеристика задана аналитически, второй и третий — графически.

Встречаются элементы автоматической СУ, статические характеристики которых не поддаются линеаризации указанными ранее методами. Эти характеристики называют существенно нелинейными.

Рис. 3.1. Линеаризация статической характеристики (а) и модель пневматической камеры (б)