1.1.2 Стоячі хвилі

Стоячою хвилею називається хвиля, що виникає в результаті накладення двох хвиль, що поширюються назустріч одна однiй та задовольняють наступним умовам: частоти хвиль однакові, амплітуди є однаковими функціями координат. Рух системи в режимі стоячої хвилі зветься також коливаннями системи.

Виникнення стоячої хвилі є окремим випадком явища інтерференції хвиль. Стояча хвиля виникає, наприклад, при накладенні падаючої та відбитої хвиль, якщо кут падіння дорівнює нулю, а коефіцієнт віддзеркалення дорівнює одиниці. Амплітуда стоячої хвилі є періодичною функцією координати х та не залежить від часу.

На відміну від хвилі, що біжить, стояча хвиля не переносить енергію. Це є слідством того, що створюючі цю хвилю пряма і зворотна хвилі переносять енергію в рівних кількостях і в протилежних напрямах.

1.2 Поширення гармонійних пружних хвиль в одновимірнiй решiтцi

Розглянемо поширення гармонійних хвиль в одновимірнiй решiтцi, що складається з точкових частинок однакової маси m, розташованих уздовж деякої прямої на рівних відстанях d один від одного. Вважаємо, що на кожну частинку з боку її найближчих сусідів діє сила, що характеризується однаковим для всіх частинок коефіцієнтом пружності.

Нехай в стані рівноваги частинки розташовані уздовж осі Ох та їх абсцисса дорівнює:

(1.2)

Тоді y випадку гармонійних хвиль зсув n-ї частинки від свого положення рівноваги можна представити у вигляді:

(1.3)

Відмітимо, щоякщо у формулі (1.3) замінити на

, (1.4)

де m — ціле число, то величина зсуву не зміниться, тобто рух залишиться тим же самим та буде характеризуватися тією ж частотою коливань. Таким чином, частота має бути періодичною функцією хвильового числа з періодом, рівним .

З іншого боку, фазова швидкість поширення хвилі визначається наступним виразом:

(1.5)

Таким чином, якщо зобразити залежність ν від хвильового числа , то фазова швидкість, що відповідає даній довжині хвилі, дорівнюватиме тангенсу кута нахилу напівпрямої, проведеної з початку координат уточку на кривій ν = ν(а), що відповідає вибраному значенню довжини хвилі.

Функціяν(а) можебути представлена увигляді:

(1.6)

де - деякапостійна,щозалежитьвідструктурирешітки. Враховуючитепер (1.5), отримуємовираз для фазовоїшвидкості:

(1.7)

де - швидкість поширення, що відповідає нескінченній довжині хвилі.

З (1.6) слідує наявність максимальної частоти, а також, враховуючи властивості сінуса, твердження, що для досить малих хвилевих чисел, тобто великих довжин хвиль, графік функції v(a) являє собою пряму, що виходить з початку координат. Таким чином, для великих довжин хвиль фазова швидкість поширення виявляється постійною. Як випливає з періодичності, завдання частоти не визначає однозначно довжину хвилі; дійсно всім хвильовим числам,що визначенi за допомогою співвідношення (1.4), відповідає одне й те ж значення частоти.

1.3 Деякі загальні властивості періодичних хвильових структур

1)Частота ν є періодичною функцією k (або a):

ω = f (k), період 2 відносно

ν = F(a), період відноснo a.

, ω=2πν,

де а – хвильове число, λ – довжина хвилі, d – період сітки.

Величина являє собою зміну фази при переході від n –ї частинки до (n+1) – ї:

=

2)Область зміни величини (або а) можна звести до основного інтервалу:

(1.8)

З нерівності (1.8) випливає таке:

Таким чином, можна говорити про мінімальну довжину хвилі, що дорівнює подвоєній відстані між частками, що покояться. Цій хвилі відповідає критична або гранична частота , що є характеристикою даної структури. Для частот, що задовольняють умові

,

система поводиться як фільтр низьких частот.

Хвилі з частотою, більшою , в даній системі випробовують сильне загасання.

3) Хвилі з частотою лежачою поза смугами пропускання не можуть поширюватися і експоненціально затухають у міру проходження через систему.