1.6 Постановка задачi

Дана робота присвячена теоретичному дослідженню хвильових процесів у деяких квазіодновимірних наноструктурах. А саме, буде розглянуто хвилі у моделі Пейрара – Бішопа – Доксуа,яка враховує, що молекула ДНК складається з двох полінуклеотидних кіл,та являє собою два кола дисків, пов'язаних один з одним поздовжніми та поперечними пружинами.

Метою даної роботи є дослідити на основі вказаної моделі хвилі в наступний граничний випадок довгохвильове наближення (наднизькi частоти). Передбачається отримати розв’язок системи рівнянь руху моделi в аналітичному вигляді за допомогою метода малого параметру та порівняти його з розв’язком, отриманим чисельним методом – методом Рунге – Кутта четвертого порядку. Передбачається побудова траєкторій на фазовiй площині для даного випадку. Буде також отримано дисперсіонну залежність для даної системи.

2. Методика розрахунків

2.1 Метод малого параметру

Багато задач теорії хвиль є нелінійними. Докладне математичне розв’язання існує тільки для невеликої кількості нелінійних задач.У зв’язку з цим для розв’язання таких задач використовують наближені методи.

В основу методу малого параметра покладено припущення, що система має “слабку” нелінійність.

Наприклад, нехай коливання системи описуються рівнянням

, (2.1)

де k – задане число, визначає прискорення системи.

Оскільки період розв’язку нелінійного рівняння є змінною величиною, яка залежить від амплітуди коливань, будемо шукати розв’язок з періодом 2π, підбираючи відповідне значення параметра k.

Вважаючи, що параметр 𝜀, входить до (1.15), достатньо малий, розв’язок (1.9) шукаємо у вигляді розкладання, згідно зi ступенем малого параметрy:

, (2.2)

де x₀, x_1, x₂… – невідомі функції часу, що належить визначити.

x₀ —це розв’язок рівняння нульового наближення (останнє отримують з початкового, вважаючи, що всі нелінійні члени у вихідному рівнянні відсутні); x₁ — розв’язок рівняння першої поправки, яка враховує вплив нелінійних членів у першому наближенні; x₂ — розв’язок рівняння другої поправки, і т.д.

Оскільки період коливань у даному випадку заздалегідь невідомий, для отримання шуканого розв’язку періоду 2π, треба,окрім цього, також ввести розкладання коефіцієнта за малим параметром:

, (2.3)

де  – нова невідома стала; ,… – невизначені коефіцієнти.

Підставляючи розкладання (2.2) та (2.3) у рівняння (2.1), маємо:

(2.4)

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових мірах у рівнянні (2.4), знаходимо

при ε⁰:

(2.5)

при ε¹:

(2.6)

Додамо для спрощення подальших розрахунків початкове значення . Тепер розв’язок рівняння (2.1) дається формулою:

(2.7)

де деяка довільна постійна.

При цьому рiвняння (2.6) перепишеться як:

(2.8)

Часткове рішення рівняння (2.8) можна представити у вигляді:

(2.9)

Отримане часткове рішення (2.9) для містить секулярний член, який робить розкладання нерівномірним, тобто рішення зростає необмежно. Підберемо параметр таким чином, щоб виключити відповідний секулярний член. З цією метою покладемо коефіцієнт при в правій частині рівняння (2.9) рівним нулю, оскiльки саме ця складова вiдповiдає за появу секулярного члена:

(2.10)

при цьому часткове рішення набуває вигляду:

(2.11)

Умова (2.10) задовольняється при:

(2.12)

Підстановка (2.7) та (2.9) y (2.2) дає:

(2.13)

Підставляючи тепер значення з (2.12) у розкладання (2.3) маємо:

При використанні даного методу постійно необхідно стежити, щоб розв’язок не містив вікового члена, оскільки віковий член зі зростанням часу необмежено зростає. Метод малого параметру використовується для розв’язання нелінійних рівнянь з достатньо малою нелінійністю і не може бути використаний для розв’язання суттєво нелінійних систем.