3.3 Отримання дисперсiйного спiввiдношення

Для випадку довгохвильового наближення отримаємо закон дисперсії линеарiзованного другого рівняння системи (1.18) даної моделі методом малого параметру.

Для цього лінійні члени другого рівняння системи (1.18) переносимо в ліву частину, а нелінійні, помноживши на деякий малий параметр 𝜀 в праву:

(3.15)

Представимо розв'язок у вигляді ряду за ступенями 𝜀:

(3.16)

(3.17)

Підставляючи розкладання (3.16) та (3.17) у рівняння (3.15), маємо:

(3.18)

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових мірах у рівнянні (3.18), знаходимо

при ε⁰:

(3.19)

при ε¹:

(3.20)

Додамо для спрощення подальших розрахунків початкове значення . Тепер розв’язок рівняння (3.19) дається формулою:

(3.21)

де деяка довільна постійна.

При цьому рiвняння (3.32) перепишеться як:

(3.22)

Пiдставляючи вираз для (3.21) у рiвняння (3.19) для частоти системи отримуємо:

(3.23)

Права частина отриманого рiвняння (3.22) містить секулярний член, який робить розкладання нерівномірним. Підберемо параметр таким чином, щоб виключити відповідний секулярний член. З цією метою покладемо коефіцієнт при рівним нулю, оскiльки саме ця складова вiдповiдає за появу секулярного члена:

(3.24)

Умова (3.35) задовольняється при:

(3.25)

Підставляючи тепер значення з (3.25) та з (3.23) у розкладання (3.17) отримаємо закон дисперсії линеарiзованного рівняння (1.18) у виглядi:

Отриманий закон дисперсії описує залежнiсть частоти системи вiд хвильового числа a.

3.4 Чисельний метод рiшення задачі.

Отримаємо рішення другого рівняння системи (1.20) для довгохвильового випадку чисельним методом Рунге - Кутта 4 порядку [ссылка на литературу], за допомогою якого можна знайти рішення рівняння з високою точністю.

Початковi умови, отриманi аналiтичним методом для довгохвильового випадку мають вигляд: .

Числові параметри, як і для аналітичного розв‘язку, візьмемо з роботи [ ]: a = 4 A^-1, K = 0.01 eV/A², ρ = 3, α = 0.8 A^-1. При цьому безрозмірний параметр зв'язку S = 0.0118957 та параметри 𝛾 = 0.2, 𝜎 = 0.14. Задамо: 𝜔 = 1.12, F = 0.05, ε = 1.

Рiшення було отримано на відрізку [-10,10] з кроком h=0.002 для довгохвильового випадку. За допомогою чисельного методу (Рунге-Кутта 4 порядку) та загального рішення (3.14) побудовано графік його рішення в програмі Mathcad, який представлено на рисунку 3.3.

Рисунок 3.3. Графiки чисельного та аналiтичного розв’язків для довгохвильового випадку.( суцільна крива - графiк чисельного розв’язку, пунктирна крива - аналiтичного)

Як і слід було чекати, графік, побудований за допомогою методу Рунге-Кутта, повністю збігся з графіком аналітичного розв’язку. Це вказує на достатню точність аналітичного розв’язку. Чисельну процедуру можна застосувати і тоді, коли немає можливості застосувати аналiтичний метод рiшення, хоча аналітичний розв’язок дає більш загальну картину поведінку системи, аніж чисельний.