2.2 Метод Рунге – Кутта

Метод Рунге – Куттa – чисельний метод, що використовується для розв’язання звичайних диференційних рівнянь та їх систем.

Розглянемо задачу Коши:

Тоді наближене значення в подальших точках обчислюється за ітераційною формулою:

Обчислення нового значення проходить в чотири стадії:

де h — величина кроку сітки по x, що є величина досить мала, k₁ - k₄ – покрокові коефіцiєнти.

Слід звернути увагу на те, що помилка (розбіжність між точним та наближеним значеннями) збільшується з кожним кроком обчислень. Це обумовлено тим, що, по–перше, отримане наближене значення округлюється на кожному кроці, а по-друге - тим, що як основа обчислення приймається значення, отримане на попередньому кроці, тобто наближене значення. Таким чином відбувається накопичення помилки. Метод Рунге-Кутта є достатньо точним, він має четвертий порядок точності, тобто сумарна помилка на кінцевому інтервалі інтеграції має порядок O(h⁴) (помилка на кожному кроці порядку O (h⁵), вважаємо, що число шагів інтегрування має порядок ).

3.РЕЗУЛЬТАТИ Й ОБГОВОРЕННЯ

3.1 Рішення рівнянь руху моделі днк Пейрара Бішопа методом Рунге – Кута четвертого порядку

У минулій курсовій роботі [] було отриманно систему рівнянь руху моделі ДНК Пейрара Бішопа найпростішої моделі денатурації молекули ДНК; яка описує розтягування водневих зв'язків, що сполучають пари підстав ДНК у наступному вигляді:

Рішення даної системи було отримано для шістнадцяти вузлів методом Рунге – Кута четвертого порядку. Було розглянуто систему з наступними значеннями числових параметрів: S = 0,02; ρ = 3;γ = 0,2 та періодичними граничними умовами:

На графіку залежності зміщень кожного з шістнадцяти вузлів двомірної моделі ДНК Пейрара - Бішопа від часу (рисунок 3.) представлено рішення даної моделі у вигляді нелінійних високочастотних та низькочастотних коливань бризерних солітонів.

Рисунок 3.1 - Нелінійні високочастотні та низькочастотні коливання бризерних солітонів.

Отримані залежності дають уяву про тимчасовий характер коливань бризерних солітонів у центральному та довколишніх до нього вузлах. При отриманні рішення було встановлено залежність амплітуд сусідніх вузлів від номера вузла. З графіка, показаного на рисунку 3.,видно що амплітуди сусідніх вузлів зменшуються із зростанням номера вузла.

Також було показано , що зі зменшенням безрозмірного параметру S коливання сусідных вузлів згасають. При S = 0,0002 отримали границю (показано на рисунку 3.2) , коли починають з являтися коливання у сусідніх до центрального вузлах.

Рисунок 3.2 – Нелінійні високочастотні коливання бризерного солітону при S = 0,0002 та амплітудою рівною 0,752.

3.2 Перехід до двомірної моделі

Розглянемо два кола дисків, пов'язаних один з одним поздовжніми та поперечними пружинами, а саме, модель ДНК Пейрара Бiшопа – Доксуа .

Для випадку довгохвильового наближення отримаємо рішення рівнянь руху (1.19) даної моделі методом малого параметру.

Вважаючи, що параметр 𝜀, який входить до (1.20), достатньо малий, розв’язок (1.20) шукаємо у вигляді розкладання, згідно зi ступенем 𝜀 малого параметрy:

(3.1)

, (3.2)

Підставляючи розкладання (3.1) та (3.2) у систему рівнянь (1.20), маємо:

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових мірах у системі рівнянь (3.3), знаходимо

при ε⁰:

(3.4)

при ε¹:

(3.5)

Додамо для спрощення подальших розрахунків другого рівняння системи початкове значення Тепер розв’язок системи рівнянь (3.4) дається формулами:

(3.6)

де деяка довільна постійна.

При цьому система рiвнянь (3.5) перепишеться як:

(3.7)

Часткове рішення системи рівнянь (3.7) можна представити у вигляді:

Отримане часткове рішення другого рівняння системи (3.8) для містить секулярний член, який робить розкладання нерівномірним, тобто рішення зростає необмежно. Підберемо параметр таким чином, щоб виключити відповідний секулярний член. З цією метою покладемо коефіцієнт при в правій частині другого рівняння системи (3.8) рівним нулю:

(3.9)

при цьому часткове рішення набуває вигляду:

Умова (3.9) задовольняється при:

(3.11)

Підстановка (3.6) та (3.8) y (3.1) дає:

(3.12)

Підставляючи тепер значення з (3.11) у розкладання (1.19) маємо:

(3.13)

Оскільки , розкладання (3.12) остаточно приймає вигляд:

(3.14)

Розкладання (3.14) буде рівномірним розкладанням першого порядку, оскільки секулярнi члени y ньому відсутні, а поправка (тобто член пропорційний ε) виявляється малою в порівнянні з головним членом розкладання.