18. Теорема Пуансо о параллельном переносе силы.

Т еорема. Cилу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, переносить из данной точки в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки куда сила переносится.

Доказательство:

П усть на твердое тело действует сила , приложенная в точке А. Действие этой силы не изменяется, если в любой точке B тела приложить две уравновешенные силы и , такие, что , . Полученная система трех сил и представляет собой силу , равную , но приложенную в точке В, и пару , с моментом .

19. Теорема о приведении системы сил к данному центру

Т еорем. Любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно выбранному центру О заменяется одной силой , равной главному вектору системы сил и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом , равным главному моменту системы сил относительно центра О.(рис.б)

Доказательство: Пусть на твердое тело действует произвольная система сил , , … (рис. а). Выберем какую-нибудь точку О за центр приведения и, пользуясь теоремой Пуансо, перенесем все силы в центр О, присоединяя при этом соответствующие пары. Тогда на тело будет действовать система сил

, , … , (1)

приложенных в центре О, и система пар, моменты которых равны:

, , … , . (2)

Сходящиеся силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой , приложенной в точке О. При этом или, согласно равенствам (1), .

Чтобы сложить все полученные пары, надо сложить векторы моментов этих пар. В результате система пар заменится одной парой, момент которой или, согласно равенствам (2), .

Величина , равная геометрической сумме всех сил, называется главным вектором системы сил; величина , равная геометрической сумме моментов всех сил относительно центра О, называется главным моментом системы сил относительно этого центра. Теорема доказана.

Заметим, что сила не является здесь равнодействующей данной системы сил, так как заменяет систему сил не одна, а вместе с парой.

Cледcтвие. Две системы сил, имеющие одинаковые главные векторы и главные моменты относительно одного и того же центра, эквивалентны (условия эквивалентности систем сил).

Отметим еще, что значение от выбора центра О, очевидно, не зависит. Значение же при изменении положения центра О может в общем случае изменяться вследствие изменения значений моментов отдельных сил.

20. Условия равновесия системы сил. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей относительно центра и оси

Условия равновесия: для равновесия любой системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно любого центра были равны нулю, т. е. чтобы выполнялись условия , .

Эти условия являются необходимыми, так как если какое-нибудь из них не выполняется, то система действующих на тело сил приводится или к равнодействующей (когда ), или к паре сил (когда ) и, следовательно, не является уравновешенной. Одновременно эти же условия являются и достаточными, потому что при система сил может приводиться только к паре с моментом , а так как , то имеет место равновесие.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей: если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра О (оси z) равен сумме моментов сил системы относительно того же центра (оси z).

П усть система сил , , … приводится к равнодействующей , линия действия которой проходит через некоторую точку С. Приложим в этой точке силу . Тогда система сил , , … , будет находиться в равновесии и для нее должно выполняться условие , т. е. для данных сил (включая силу ) должно быть . Но так как и обе силы направлены вдоль одной и той же прямой, то . Подставляя это значение в предыдущее равенство, найдем из него, что

.

Проецируя полученное равенство на ось z, проходящую через центр О, получим

Тем самым теорема доказана. Ею часто бывает удобно пользоваться при вычислении моментов сил.