21. Вычисление главного вектора и главного момента пространственной системы сил

По теореме о приведении системы сил получили , .

По теореме Вариньона проекция на координатную ось Ox . Аналогично находятся и .

Окончательно для определения проекций главного вектора и главного момента получим формулы:

, , ;

, , .

При этом

,

Здесь - единичные векторы (орты), направленные вдоль координатных осей Ox, Oy и Oz соответственно.

22. Уравнения равновесия пространственной системы сил. Случай параллельных сил

Необходимыми и достаточными условиями равновесия любой системы сил являются равенства

,

, , .

, , .

Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и суммы их моментов относительно этих осей были равны нулю, т.е.

1) , 2) , 3) ;

4) , 5) , 6) .

Если на тело кроме сил действует еще пара, заданная ее моментом , то уравнения для сумм проекций сил не изменятся, а моментные уравнения примут вид:

, , .

С лучай параллельных сил. В случае, когда все действующие на тело силы параллельны друг другу, можно выбрать координатные оси так, что ось z будет параллельна силам (рис.). В этом случае , , .

Поэтому, для равновесия пространственной системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на ось, параллельную силам, и суммы их моментов относительно двух других координатных осей были равны нулю.

, , .

23. Центр тяжести твердого тела. Координаты центра тяжести для объёмных тел

Н а каждую частицу тела, находящегося вблизи земной поверхности, действует направленная вертикально вниз сила, которую называют силой тяжести. Для тел, размеры которых очень малы по сравнению с земным радиусом, силы тяжести, действующие на частицы тела, можно считать параллельными друг другу и сохраняющими для каждой частицы постоянное значение при любых поворотах тела.

Равнодействующую сил тяжести , , …, , действующих на частицы данного тела, обозначим (рис.). Модуль этой силы называется весом тела и определяется равенством

.

Центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести, действующих на частицы данного тела, при любом положении тела в пространстве.

Координаты центра тяжести определяются формулами:

, , ,

где , , — координаты точек приложения сил тяжести , действующих на частицы тела.

Отметим в заключение, что согласно определению центр тяжести — это точка геометрическая, она может лежать и вне пределов данного тела (например, для кольца).

Центр тяжести объема. Для однородного тела вес любой его части пропорционален объему этой части: , а весь всего тела пропорционален объему этого тела, т. е. , где — вес единицы объема.

Подставив эти значения и в формулы для координат цента тяжести, получим

, , (1)

Как видно, положение центра тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы, а от величины не зависит. По этой причине точку С, координаты которой определяются формулами (3), называют центром тяжести объема .