7. Уравнения равновесия плоской системы сил

Для плоской системы сил три формы аналитических условий равновесия:

1. Основная форма условий равновесия.

=> , ;

Но , , .

Следовательно, для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю.

2. Вторая форма условий равновесия: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно каких-нибудь двух центров А и В и сумма их проекций на ось Ох, не перпендикулярную прямой АВ, были равны нулю:

, , .

Необходимость этих условий очевидна, так как если любое из них не выполняется, то или , или ( ) и равновесия не будет. Докажем их достаточность. Если для данной системы сил выполняются только первые два из условий то для нее и . Такая система сил иметь равнодействующую , одновременно проходящую через точки А и В (рис.). Но по третьему условию должно быть . Так как ось Ох проведена не перпендикулярно к АВ, то последнее условие может быть выполнено, только когда R=0, т. е. когда имеет место равновесие.

3. Третья форма условий равновесия (уравнения трех моментов): для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно любых трех центров А, В и С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

, , .

Необходимость этих условий, как и в предыдущем случае, очевидна. Достаточность условий следует из того, что если при одновременном выполнении этих условий данная система сил не находилась бы в равновесии, то она должна была бы приводиться к равнодействующей, одновременно проходящей через точки А, В и С, что невозможно, так как эти точки не лежат на одной прямой. Следовательно, при выполнении этих условий имеет место равновесие.

Р авновесие плоской системы параллельных сил. В случае, когда все действующие на тело силы параллельны друг другу, можно направить ось Ох перпендикулярно силам, а ось Оу параллельно им (рис.). Тогда проекция каждой из сил на ось Ох будет равна нулю и сумма их проекций на эту ось обратится в тождество вида . В результате для параллельных сил останется два условия равновесия:

, , где ось Оу параллельна силам.

Две другие формы условий равновесия для параллельных сил имеют вид:

, .

При этом точки А и В не должны лежать на прямой, параллельной силам.

8. Распределенная нагрузка

В инженерных расчетах часто приходится встречаться с нагрузками, распределенными вдоль данной поверхности по тому или иному закону. Рассмотрим некоторые простейшие примеры распределенных сил, лежащих в одной плоскости.

Плоская система распределенных сил характеризуется ее интенсивностью q, т. е. значением силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка. Измеряется интенсивность в ньютонах, деленных на метры (Н/м).

1) Силы, равномерно распределенные вдоль отрезка прямой (рис а). Для такой системы сил интенсивность q имеет постоянное значение. При статических расчетах эту систему сил можно заменить равнодействующей . По модулю,

.

Приложена сила Q в середине отрезка АВ.

2) Силы, распределенные вдоль отрезка прямой по линейному закону (рис. б).

П римером такой нагрузки могут служить силы давления воды на плотину, имеющие наибольшее значение у дна и падающие до нуля у поверхности воды. Для этих сил интенсивность q является величиной переменной, растущей от нуля до максимального значения . Равнодействующая таких сил определяется аналогично равнодействующей сил тяжести, действующих на однородную треугольную пластину ABC. Так как вес однородной пластины пропорционален ее площади, то, по модулю,

Приложена сила Q на расстоянии а/3 от стороны ВС треугольника ABC.

3) Силы, равномерно распределенные по дуге окружности (рис.) Примером таких сил могут служить силы гидростатического давления на боковые стенки цилиндрического сосуда. .