Физический смысл волновой функции[править | править вики-текст]

В координатном представлении волновая функция   зависит от координат (или обобщённых координат) системы. Физический смысл приписывается квадрату её модуля  , который интерпретируется как плотность вероятности   (для дискретных спектров — просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатами   в момент времени  :

.

Тогда в заданном квантовом состоянии системы, описываемом волновой функцией  , можно рассчитать вероятность   того, что частица будет обнаружена в любой области конфигурационного пространства конечного объема  :        .

Следует также отметить, что возможно измерение и разницы фаз волновой функции, например, в опыте Ааронова — Бома.

64. Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества, для описания микрочастиц используются то волновые, то корпускулярные представления. Поэтому приписывать им все свойства частиц и все свойства волн нельзя. Естественно, что необходимо внести некоторые ограничения в применении к объектам микромира понятий классической механики.

       В классической механике состояние материальной точки (классической частицы) определяется заданием значений координат, импульса, энергии и т.д. (перечисленные величины называются динамическими переменными). Строго говоря, микрообъекту не могут быть приписаны указанные динамические переменные. Однако, информацию о микрочастицах мы получаем, наблюдая их взаимодействие с приборами, представляющими собой макроскопические тела. Поэтому результаты измерений поневоле выражаются в терминах, разработанных для характеристики макротел, т.е. через значения динамических характеристик. В соответствии с этим измеренные значения динамических переменных приписываются микрочастицам. Например, говорят о состоянии электрона, в котором он имеет такое-то значение энергии, и т.д.

       Волновые свойства частиц и возможность задать для частицы лишь вероятность ее пребывания в данной точке пространства приводят к тому, что сами понятия координаты частицы и ее скорости (или импульса) могут применяться в квантовой механике в ограниченной мере. В этом, вообще говоря, нет ничего удивительного. В классической физике понятие координаты в ряде случаев тоже непригодно для определения положения объекта в пространстве. Например, не имеет смысла говорить о том, что электромагнитная волна находится в данной точке пространства или что положение фронта волновой поверхности на воде характеризуется координатами x, y, z.

       Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц, изучаемых в квантовой механике, приводит к тому, что в ряде случаев оказывается невозможным, в классическом смысле, одновременно характеризовать частицу ее положением в пространстве (координатами) и скоростью (или импульсом). Так, например, электрон (и любая другая микрочастица) не может иметь одновременно точных значений координаты x и компоненты импульса  . Неопределенности значений x и  удовлетворяют соотношению:

.

(4.2.1)

       Из (4.2.1) следует, что чем меньше неопределенность одной величины (x или  ), тем больше неопределенность другой. Возможно, такое состояние, в котором одна их переменных имеет точное значение (  ), другая переменная при этом оказывается совершенно неопределенной (  – ее неопределенность равна бесконечности), и наоборот. Таким образом, для микрочастицы не существует состояний, в которых ее координаты и импульс имели бы одновременно точные значения. Отсюда вытекает и фактическая невозможность одновременного измерения координаты и импульса микрообъекта с любой наперед заданной точностью.

       Соотношение, аналогичное (4.2.1), имеет место для y и  , для z и  , а также для других пар величин (в классической механике такие пары называются канонически сопряженными). Обозначив канонически сопряженные величины буквами A и B, можно записать:

.

(4.2.2)

       Соотношение (4.2.2) называется соотношением неопределенностей для величин A и B. Это соотношение ввёл в 1927 году Вернер Гейзенберг.

Вернер Гейзенберг (1901–1976) – всемирно известный немецкий физик, создатель «матричной квантовой механики», лауреат Нобелевской премии (1932 г.) за создание квантовой механики. Работы относятся к квантовой механике, квантовой электродинамике, релятивистской квантовой теории поля, теории ядра, магнетизму, физике космических лучей, теории элементарных частиц, философии естествознания.

       Утверждение о том, что произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку меньше постоянной Планка h, называетсясоотношением неопределенностей Гейзенберга.

       Энергия и время являются канонически сопряженными величинами. Поэтому для них также справедливо соотношение неопределенностей:

.

(4.2.3)

       Это соотношение означает, что определение энергии с точностью  должно занять интервал времени, равный, по меньшей мере,

 .

       Соотношение неопределенностей получено при одновременном использовании классических характеристик движения частицы (координаты, импульса) и наличии у нее волновых свойств. Т.к. в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенностей является, таким образом, квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

       Соотношение неопределенностей указывает, в какой мере возможно пользоваться понятиями классической механики применительно к микрочастицам, в частности с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц. Движение по траектории характеризуется вполне определенными значениями координат и скорости в каждый момент времени. Подставив в (4.2.1) вместо  произведение  , получим соотношение:

.

(4.2.4)

       Из этого соотношения следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости, следовательно тем с большей точностью можно применять к этой частице понятие траектории. Так, например, уже для пылинки массой  кг и линейными размерами  м, координата которой определена с точностью до 0,01 ее размеров (  м), неопределенность скорости, по (4.2.4),

т.е. не будет сказываться при всех скоростях, с которыми пылинка может двигаться.

       Таким образом, для макроскопических тел их волновые свойства не играют никакой роли; координаты и скорости могут быть измерены достаточно точно. Это означает, что для описания движения макротел с абсолютной достоверностью можно пользоваться законами классической механики.

       Предположим, что пучок электронов движется вдоль оси x со скоростью  м/с, определяемой с точностью до 0,01% (  м/с). Какова точность определения координаты электрона?

По формуле (4.2.4) получим:

 .

       Таким образом, положение электрона может быть определено с точностью до тысячных долей миллиметра. Такая точность достаточна, чтобы можно было говорить о движении электронов по определенной траектории иными словами, описывать их движения законами классической механики.

       Применим соотношение неопределенностей к электрону, двигающемуся в атоме водорода. Допустим, что неопределенность координаты электрона  м (порядка размеров самого атома), тогда, согласно (4.2.4),

 .

       Используя законы классической физики, можно показать, что при движении электрона вокруг ядра по круговой орбите радиуса приблизительно  м его скорость м/с. Таким образом, неопределенность скорости в несколько раз больше самой скорости. Очевидно, что в данном случае нельзя говорить о движении электронов в атоме по определенной траектории. Иными словами, для описания движения электронов в атоме нельзя пользоваться законами классической физики.

65. Исследуя прохождение α-частицы через тонкую золотую фольгу (см. п. 6.2), Э. Резерфорд пришёл к выводу о том, что атом состоит из тяжёлого положительного заряженного ядра и окружающих его электронов.

       Ядром называется центральная часть атома, в которой сосредоточена практически вся масса атома и его положительный заряд.

       В состав атомного ядра входят элементарные частицы: протоны и нейтроны (нуклоны от латинского слова nucleus – ядро). Такая протонно-нейтронная модель ядра была предложена советским физиком в 1932 г. Д.Д. Иваненко. Протон имеет положительный заряд е⁺=1,06·10^–19 Кл и массу покоя m_p = 1,673·10^–27кг = 1836m_e. Нейтрон (n) – нейтральная частица с массой покоя m_n = 1,675·10^–27кг = 1839m_e (где масса электрона m_e, равна 0,91·10^–31кг). На рис. 9.1 приведена структура атома гелия по представлениям конца XX - начала XXI в.

       Заряд ядра равен Ze, где e – заряд протона, Z– зарядовое число, равное порядковому номеру химического элемента в периодической системе элементов Менделеева, т.е. числу протонов в ядре. Число нейтронов в ядре обозначается N. Как правило Z > N.

       В настоящее время известны ядра с Z = 1 до Z = 107 – 118.

       Число нуклонов в ядре A = Z + N называется массовым числом. Ядра с одинаковым Z, но различными А называются изотопами. Ядра, которые при одинаковом A имеют разные Z, называются изобарами.

Рис. 9.1

       Ядро обозначается тем же символом, что и нейтральный атом  , где X – символ химического элемента. Например: водород Z = 1 имеет три изотопа:  – протий (Z = 1, N = 0), – дейтерий (Z = 1, N = 1),  – тритий (Z = 1, N = 2), олово имеет 10 изотопов и т.д. В подавляющем большинстве изотопы одного химического элемента обладают одинаковыми химическими и близкими физическими свойствами. Всего известно около 300 устойчивых изотопов и более 2000 естественных и искусственно полученных радиоактивных изотопов.

       Размер ядра характеризуется радиусом ядра, имеющим условный смысл ввиду размытости границы ядра. Ещё Э. Резерфорд, анализируя свои опыты, показал, что размер ядра примерно равен 10^–15 м (размер атома равен 10^–10 м). Существует эмпирическая формула для расчета радиуса ядра:

,

(9.1.1)

       где R₀ = (1,3 – 1,7)·10^–15м. Отсюда видно, что объём ядра пропорционален числу нуклонов.

       Плотность ядерного вещества составляет по порядку величины 10¹⁷ кг/м³ и постоянна для всех ядер. Она значительно превосходит плотности самых плотных обычных веществ.

       Протоны и нейтроны являются фермионами, т.к. имеют спин ħ/2.

       Ядро атома имеет собственный момент импульса – спин ядра:

,

(9.1.2)

       где I – внутреннее (полное) спиновое квантовое число.

       Число I принимает целочисленные или полуцелые значения 0, 1/2, 1, 3/2, 2 и т.д. Ядра с четными А имеют целочисленный спин (в единицах ħ) и подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна (бозоны). Ядра с нечетными А имеют полуцелый спин (в единицах ħ) и подчиняются статистике Ферми–Дирака (т.е. ядра – фермионы).

       Ядерные частицы имеют собственные магнитные моменты, которыми определяется магнитный момент ядра  в целом. Единицей измерения магнитных моментов ядер служитядерный магнетонμ_яд:

.

(9.1.3)

Здесь e – абсолютная величина заряда электрона, m_p – масса протона.

       Ядерный магнетон в m_p/m_e = 1836,5 раз меньше магнетона Бора, отсюда следует, что магнитные свойства атомов определяются магнитными свойствами его электронов.

       Между спином ядра  и его магнитным моментом имеется соотношение:

,

(9.1.4)

       где γ_яд – ядерное гиромагнитное отношение.

       Нейтрон имеет отрицательный магнитный момент μ_n ≈ – 1,913μ_яд так как направление спина нейтрона и его магнитного момента противоположны. Магнитный момент протона положителен и равен μ_р ≈ 2,793μ_яд. Его направление совпадает с направлением спина протона.

       Распределение электрического заряда протонов по ядру в общем случае несимметрично. Мерой отклонения этого распределения от сферически симметричного являетсяквадрупольный электрический момент ядра Q. Если плотность заряда считается везде одинаковой, то Q определяется только формой ядра. Так, для эллипсоида вращения

,

(9.1.5)

       где b – полуось эллипсоида вдоль направления спина, а – полуось в перпендикулярном направлении. Для ядра, вытянутого вдоль направления спина, b > а и Q > 0. Для ядра, сплющенного в этом направлении, b < a и Q < 0. Для сферического распределения заряда в ядре b = a и Q = 0. Это справедливо для ядер со спином, равным 0 или ħ/2.