10 Класс

Задача 1. Три мужа – Андрей, Иван и Степан пошли со своими женами – Анной, Екатериной и Ольгой за покупками. Каждый платил за каждую вещь по стольку рублей, сколько он купил вещей. Андрей купил больше Анны на 23 вещи. Иван – больше Екатерины на 11 вещей, а Степан – меньше Ольги на 23 вещи. Определить, кто на ком женат, если каждый из мужей израсходовал 63-мя рублями больше своей жены.

(5 баллов)

Задача 2. Докажите, что если для натуральных чисел т и с справедливо равенство

2 т = с²+1,

то число т можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел.

(4 балла)

Задача 3. Упростить

(2+1) (2²+1) (2⁴ +1) (2⁸+1) (2¹⁶+1) (2³²+1) (2⁶⁴+1)

(3 балла)

Задача 4. Числитель и знаменатель дроби – положительные числа. Числитель увеличили на 1, а знаменатель – на 10. Может ли увеличиться при этом дробь?

(3 балла)

Задача 5. Подряд написаны числа 1,2,3,4,5,..., 2000. Первое, третье, пятое и т.д. по порядку вычеркивают. Из оставшихся 1000 чисел снова вычеркивают первое, третье, пятое и т.д. Так делают, пока не останется одно число. Что это за число?

(4 балла)

Задача 6. Существует ли выпуклый 2000-угольник, все углы которого выражаются целым числом градусов?

(4 балла)

Задача 7. У фальшивомонетчика есть 40 внешне одинаковых монет, среди которых 2 фальшивые – они легче, чем остальные, и весят одинаково. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь отобрать 20 настоящих монет?

(4 балла)

Задача 8. Дан остроугольный треугольник АВС. Окружность с центром на середине стороны ВС пересекает стороны АВ и АС в точках D и Е соответственно. Оказалось, что АD= АЕ. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

(4 балла)

11 Класс

Задача 1. А, И, Б сидели на трубе. К ним стали по очереди подсаживаться другие буквы так, что порядковый номер очередной буквы в русском алфавите равнялся сумме цифр порядковых номеров двух предыдущих букв. Оказалось, что начиная с некоторого момента буквы стали циклически повторяться.

Может ли циклически повторяющийся набор состоять из одной буквы? Если да, указать эту букву.

(4 балла)

Задача 2. Найдите сумму коэффициентов многочлена (2 х³- х²+ х -3)¹⁹⁹⁹• ( х²- 2х) ²⁰⁰⁰

(3 балла)

Задача 3. Подряд написаны числа 1,2,3,4,5, ..., 2000.Первое, третье, пятое и т.д. по порядку вычеркивают. Из оставшихся 1000 чисел снова вычеркивают первое, третье, пятое и т.д. Так делают, пока не останется одно число. Что это за число?

(3 балла)

Задача 4. Решите уравнение

(4 балла)

Задача 5. Квадратный трехчлен ах²+вх +с имеет корни. Верно ли, что трехчлен а³х²+ в³х + с³ также имеет корни?

(4 балла)

Задача 6. В треугольнике АВС биссектрисы углов А и В пересекают описанную окружность в точках К и L. Отрезки АК и ВL пересекаются в точке Х и делятся этой точкой в равных отношениях, считая от вершин треугольника. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

(5 баллов)

Задача 7. Две окружности пересекаются в точках А и Б. Проведена прямая, пересекающая первую окружность в точках С и D, а вторую –в точках Е и F (рис.2). Докажите, что САЕ =DBF.

(5 баллов)

Задача 8. Куб 1х1х1 полностью оклеили шестью квадратами общей площадью 6. Обязательно ли все эти квадраты равны?

( 5 баллов)